24 pulgadas de largo por 9



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  1. se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 24 pulgadas de largo por 9 de ancho cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas, y doblando los lados. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?

f:\calc1.bmp

Solución: Sea x el lado del cuadrado que se va a cortar; V el volumen de la caja resultante.

Luego: V=x (9-2x)(24-2x)=216x-66x2+4x3 ósea que se debe maximizar V sobre el intervalo [0,4.5]. Los puntos estacionarios se encuentran igualando a cero la derivada dv/dx y resolviendo la ecuación resultante: V´(x)= 216-132x+12x2 = 12(18-11x+x2) v´(x)= 12(9-x)(2-x)= 0 (9-x)= 0 X= 9 y (2-x)= 0 X= 2 . Como 9 no está en el intervalo solo se toma 2. Luego hay tres puntos críticos que son: 0, 2, 4.5. En los Puntos frontera V(0) = 0 y V (4.5)= 0; en 2 el volumen V= 200. Se concluye que la caja tiene un volumen máximo de 200 pulgadas cubicas cuando X= 2 ósea que la caja tiene 20 pulgadas de larga, 5 pulgadas de ancho y 2 pulgadas de alto o profundidad.



  1. un volumen debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso con 4 pulgadas de margen arriba y abajo, y 2 pulgadas de margen a los lados. ¿Qué dimensiones debe tener el volumen para que gaste menos papel?

f:\calc2.bmp

Solución: Sea X la anchura y “Y” la altura del volante su área será A= XY. Las dimensiones del texto serán: X-4 de ancho y Y-8 de largo. Como el área es de 50 pulgadas cuadradas, entonces el área será despejo Y y queda:

Por lo tanto el área será:

. Los valores permitidos serán X>4 ósea (4, ∞).

Derivando ; igualando a cero X= -1 y X= 9 como x tiene que ser mayor que cuatro (x>4) el valor x= -1 no es permitido; entonces el área alcanza su mínimo valor cuando X= 9 por lo tanto Y= 18. Así que las dimensiones del volante en que se usara la mínima cantidad de papel son 9x18 pulgadas.



  1. se tienen 100 m de tela de alambre con la cual de planea construir dos corrales adyacentes idénticos. Cuáles son las dimensiones del cercado total para el que es máxima el área.f:\calc3.bmp

Solución: Sea x el ancho y “Yla longitud del cercado total; entonces 2y+3x=100

Como A= xy

; además 0≤ X ≤100/3 hay que maximizar en [0, 100/3] derivando A queda:

; Luego .Los puntos críticos son para X= 0 y el área A= 0; para produce A= 416.67 por lo tanto las dimensiones son y .

  1. se va a cortar una viga rectangular de un tronco de sección transversal circular. Si la resistencia de una viga es proporcional al producto de su anchura por el cuadrado de su altura; encuentre las dimensiones de la sección transversal que da la viga de mayor resistencia.

f:\calc4.bmp

Solución: El diámetro del tronco es “a”, la anchura de la viga es “x” y la altura “y”. Se maximiza a S, ósea, la resistencia de la viga que está dada por donde K es una constante de proporcionalidad. La resistencia depende de las dos variables X y Y en donde luego . Los valores admisibles de X son:

Como es el único punto crítico de (0, a) es probable que de el máximo de S, al sustituir a en



  1. se quiere cercar un lote rectangular de 800 m2 de área. Si uno de los lados está sobre la orilla recta de un rio. ¿Cuáles son las dimensiones del para que la longitud de la cerca sea mínima?

Solución: Supongamos que X es el ancho de la cerca. Como es el largo. La longitud de la cerca total está dada por: . Ésta se puede expresar: y es la que se minimiza ó , se descartan los valores 0 y -20. Para comprobar que X= 20 es valor mínimo relativo se halla la segunda derivada, ósea, . Si .f:\calc5.bmp

  1. se quiere construir un envase cilíndrico de base circular cuyo volumen es 125 cm3. Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada (área total) sea mínima.

f:\calc7.bmp

Solución: R: es el radio de la base en cm

H: la altura del cilindro en cm

A: material gastado

. 1) ,

  • Entonces la función que se minimiza es la (1) que tiene variable (R y h); despejamos h de la ecuación del volumen y remplazamos h.

  • .

  • Se minimiza así: , ,

  • Se descarta a que se deduce de .



  1. ¿Cuáles son las dimensiones de un cono área de superficie 10π que encierra el mayor volumen? [Indicación: área de superficie= π r (h2 + r2)1/2; volumen = 1/3 πr2 h]

f:\cal1.bmp

Solución: La cantidad que se debe maximizar es el volumen 1). El área de la superficie es:

  • ,

  • Se resuelve para h en términos de r y queda:

  • Luego se remplaza a h en (1) así:

  • Se deriva y se iguala a cero así:

;

  • .

  • Luego las dimensiones de r y h son: y .



  1. Un silo consta de un cilindro con una parte superior hemisférica. Hallar las dimensiones del silo con un volumen fijo de v = 40 π/3 que tiene la menor área de superficie. Inclúyase el piso. f:\cal2.bmp

Solución: Se toma el volumen del hemisferio y del cilindro y las áreas de cada uno. El volumen de una esfera es:

y su área es .

  • El volumen de un cilindro está dado por: y el área de la superficie del cilindro incluyendo su base es: .

  • Luego el volumen del silo está dado por y su área por: .

  • Hay que minimizar el área y despejar h del volumen que es fijo entonces:



  • Se sustituye en el área:

.

  • Se deriva: si .

.

;

  • Luego .

.

Rta: Luego el silo tiene radio 2 y altura 2.

  1. Se va a fabricar un recipiente cilíndrico abierto, de volumen de 1 pie3. Hallar las dimensiones que minimizan el área del material usado en su construcción. f:\cal3.bmp

Solución: El área del material será: .

  • Para hallar h en función de r se tiene que

.

pies

  • Después remplazo en h y queda

Pies.

  1. Hallar las dimensiones del cono circular recto de área máxima de superficie que puede inscribirse en una esfera de radio r= 1.

Solución: El área del cono es: donde “s” es la generatriz => De acuerdo a la figura .f:\cal4.bmp

Como la espera tiene radio 1 entonces .Aquí hay dos posibilidades: Escoger como variable a “x” o a la variable r. Al remplazar el área en función de r se hace más complejo por lo tanto se remplaza en función de X.

  • Luego:











  • .



  • El valor -1 no es válido por lo tanto se toma







  1. Un hombre está en un bote y se encuentra a 24 Km de distancia de una playa recta y desea un punto situado a 20 Km de la playa. Puede viajar a 5 Km por hora en el bote y a 13 Km por hora en tierra. ¿en qué punto deberá atracar el bote con el objeto de minimizar el tiempo que se requiere para llegar al destino deseado?f:\cal5.bmp

Solución: Tómese X el número de Km desde un punto P => la distancia que debe recorrer a 5 Km por hora es ósea que el tiempo será:

  • ,

  • La distancia que recorre a lo largo de la playa es:

  • Ósea que .

  • El tiempo total será: .

.

  • Derivando esta expresión queda:

  • Se iguala a cero

.

  1. Un cartel deberá contener un área impresa de 150 cm2, con márgenes de 3 cm en la parte superior e inferior, y 2 cm a cada lado. Hallar el área mínima total. f:\cal6.bmp

Solución: se toma XY a ”y” las dimensiones del área impresa del cartel. Luego el área total está dada por: pero como luego el área total será: se deriva para minimizar y queda: Se iguala a cero

Luego

Luego el cartel medirá:

De ancho por de largo.

  1. Se necesita cortar y doblar un pedazo cuadrado de cartón de i metro por cada lado para formar una caja que no tenga parte superior (habrá que recortar pequeños cuadrados en cada esquina). Hallar las dimensiones de la caja que contenga el mayor volumen.

f:\cal7.bmp

Solución: Se debe maximizar el volumen: donde h y w se relacionan así:

.

Se deriva con respecto a w y queda se iguala a cero El máximo que es para el valor máximo de .



  1. Hallar el punto sobre la gráfica de y=x2+1 que este más cercano al punto (8,3/2)

Solución: Tómese un punto de la parábola . La formula de la distancia entre dos puntos es ósea que de P a f:\cal8.bmp

Se tiene: . Esta es la distancia que se debe minimizar => solo eleva al cuadrado y se deriva así: el punto p seria:



  1. El grosor de un empaque de cartón es el perímetro de un extremo. Las restricciones de embarque requieren que la suma del grosor y la longitud no exceda 100 pulgadas. Hallar las dimensiones del embalaje con un extremo o cuadrado que tenga el mayor volumen.f:\cal9.bmp

  2. Solución: Se toma un extremo como cuadrado de lado X pulgadas y L pulgadas su longitud, de acuerdo al enunciado debe ser meno o igual a 100. . Ósea que X debe ser mayor que cero pero menor que 25. Luego el volumen será; al derivar se tiene: se iguala a cero luego

. Pulgadas.

  1. Para el embalaje del cartón del problema anterior, suponga que el paquete es cilíndrico (es decir, el extremo es un circulo).

f:\cal10.bmp

Solución: Se toma un cilindro de radio r y longitud L. El perímetro de la circunferencia es 2πr.

; .

La superficie total del cilindro será:



Se deriva y se iguala a cero:





Pulgadas.

Pulgadas.

  1. Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen que encajaría dentro de un cono de radio 3 y altura 5. Suponer que los ejes del cilindro y del cono coinciden.f:\cal11.bmp

Solución: Se debe maximizar el volumen del cilindro . De acuerdo a la figura se toma:

El

Luego g:\cal\calc10.bmp

Se deriva: . Se iguala a cero



Si

y .

  1. Considere un triángulo rectángulo con sus catetos sobre los ejes coordenados, cuya hipotenusa pasa por (4,3). Hallar el área mínima que pueda encerrar tal triangulo.

Solución: Para hallar el área, primero se obtiene la longitud de la base. La recta que pasa por el punto es: , esta recta tiene intersección con X en . Luego el área del triángulo es ; la variable b debe ser mayor o igual a 3 ósea . Se iguala a cerof:\cal12.bmp





Rta: El área mínima debe ser 24.

  1. Considere círculos que tienen el centro sobre el eje positivo X, y que pasan por el punto (0, a) donde a > 0. Entre tales círculos, ¿Cuál es el centro (x, 0) que maximiza la razón entre X y el área del círculo?

f:\cal13.bmp

Solución: La razón entre X y el área del círculo es pero X y r están relacionados por la ecuación pitagórica . De acuerdo a esta expresión la razón está dada por: se deriva esta razón y queda: se iguala a cero

Ósea que X= a produce el máximo valor para la razón R.

  1. ¿Qué numero positivo minimiza la suma entre él y su reciproco?
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