Capítulo 14 Redes de filas de espera



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14.5 Redes de puesta en fila BCMP


En 1975 el modelo de Jackson fue ulteriormente generalizado por Baskett, Chandy, Muntz y Palacios (1975 [4]). Se demostró que las redes de puesta en fila con más de un tipo de clientes también tienen forma de producto, siempre que:

a) Cada nodo es un sistema de puesta en fila simétrico (véase el § 14.2: proceso de llegada de Poisson  proceso de salida de Poisson).

b) Los clientes se clasifican en N canales. Cada canal se caracteriza por su propio tiempo de servicio medio si y por las probabilidades de transición pij. Además, un cliente puede cambiar de un canal a otro con una determinada probabilidad después de haber terminado el servicio en un nodo. Si el criterio de puesta en fila en un nodo es M/M/n (incluido M/M/1) se aplica una restricción: el promedio del tiempo de servicio debe ser idéntico para todos los canales en un nodo.

Las redes BCMP pueden ser evaluadas con el algoritmo de convolución multidimensional así como con el algoritmo MVA multidimensional. Estos dos algoritmos se describirán más adelante. Las redes de puesta en fila mixtas (abiertas y cerradas) se proyectan calculando primero la carga de tráfico en cada nodo de las cadenas abiertas. Este tráfico debe ser transportado para que entren en equilibrio estadístico. La capacidad de los nodos está reducida por este tráfico, y la red de puesta en fila cerrada se calcula por la capacidad reducida. Por tanto, el problema principal es calcular redes cerradas.

Para ello, se utilizarán más algoritmos entre los cuales los más importantes son el algoritmo de convolución y el algoritmo MVA.

14.6 Redes de puesta en fila multidimensionales


En esta sección se estudiarán redes de puesta en fila con más de un tipo de clientes. Los clientes del mismo tipo pertenecen a una clase o canal específico. En el Capítulo 10 se analizaron sistemas de pérdidas con diversos tipos de clientes (servicios) y se observó que se mantuvo la forma de producto y que se podía aplicar el algoritmo de convolución.

14.6.1 Sistema de puesta en fila de un solo servidor M/M/1




Figura 14.7 – Sistema de puesta en fila M/M/1 con dos tipos (de cadenas) de clientes

La figura 14.7 ilustra un sistema de puesta en fila de un solo servidor con N = 2 tipos de clientes (cadenas). Los clientes llegan al sistema conforme a un proceso de llegada de Poisson con intensidad j (j = 1, 2). El estado (i, j) se define como un estado con i clientes tipo 1 y j clientes tipo 2. La intensidad de servicio i,j en el estado (i, j) se puede seleccionar pues ésta depende del estado, por ejemplo:



La velocidad del servicio se puede interpretar de diversas maneras conforme al sistema simétrico de puesta en fila de un solo servidor. Una interpretación corresponde a la compartición del procesador, es decir, todos los (i + j) clientes comparten el servidor y la capacidad de éste es constante. La dependencia del estado es debida a la diferencia en velocidades de servicio entre los dos tipos de clientes; es decir, el número de clientes que ha terminado su operación por unidad de tiempo depende de los tipos de clientes a los que se le está dando servicio.

Otra interpretación corresponde a un sistema M/M/1. Si se supone 1 = 2, se puede determinar que el cliente se le da servicio con probabilidad i/(i+j) de tipo 1, y con probabilidad j/(i+j) de tipo 2. Esto es independiente del criterio de servicio.



Figura 14.8 – Diagrama de transición de estado para un sistema M/M/1
multidimensional con compartición de procesador

En la figura 14.8 se ilustra parte del diagrama de transición de estado. El diagrama es reversible, pues el flujo que circula en sentido horario es igual al flujo que circula en sentido antihorario. Por lo tanto, hay equilibrio local y todas las probabilidades de estado se pueden expresar por p(00):



Normalizando la expresión se tiene que p(0, 0):



En comparación con la fórmula B de Erlang multidimensional se tiene ahora el factor adicional (i+j)!. El producto entre cadenas (dentro de un nodo) se pierde, pero el producto entre nodos se mantendrá aún.

Si hay N tipos de clientes (cadenas) diferentes, las probabilidades de estado para un solo nodo resulta:

Esto se puede expresar por la distribución polinómica (4.37):



Para un número ilimitado de posiciones de puesta en fila las probabilidades de estado del número total de clientes son:



Si i = , el sistema es idéntico a un sistema M/M/1 con velocidad de llegada = i i:



Para obtener este resultado se utiliza la expansión binomial. El diagrama de transición de estado de la figura 14.8 también se puede interpretar como el diagrama de transición de estado de un sistema M/G/1, LCFS-PR (con derecho prioritario). Es obvio que este sistema sea reversible pues el proceso sigue exactamente el mismo trayecto en el diagrama de transición de estado fuera del estado cero y retorno a dicho estado.

El diagrama de transición de estado se puede mostrar diferente a la distribución del tiempo de servicio, de modo que es válido para el sistema de puesta en fila M/G/1. La figura 14.8 corresponde a un diagrama de transición de estado para un sistema de puesta en fila de un solo servidor con tiempos de servicios distribuidos hiperexponencialmente (véase (10.7)), por ejemplo M/H2/1-LCFS-PR o PS.

Cabe señalar que para el sistema M/M/1 (FCFS, LCFS, SIRO) es necesario suponer que todos los clientes tienen el mismo tiempo medio de servicio, que debe estar distribuido en forma exponencial. De otro modo, el cliente a quien se le está dando servicio no será del tipo aleatorio que se encuentra entre los (i + j) clientes en el sistema.

En conclusión, los sistemas de puesta en fila de un solo servidor con más tipos de clientes sólo tendrá forma de producto cuando el nodo es un sistema de puesta en fila simétrico: M/G/1-PS, M/G/1-LCFS PR, o M/M/1 con el mismo tiempo de servicio para todos los clientes.

14.6.2 Sistema de puesta en fila M/M/n


El tráfico anterior se puede transportar a través de un sistema con n servidores. Para (i + j)  n se tiene las mismas probabilidades de estado relativas que para la fórmula B de Erlang multidimensional. Para (i + j) > n sólo se obtiene una interpretación simple cuando i = , es decir, cuando todos los tipos de clientes (cadenas) tienen el mismo tiempo medio de ocupación. Se calcula entonces las probabilidades de estado aplicando la ecuación (14.1), y el sistema tiene forma de producto. El sistema M/M/ se puede considerar como un caso especial de M/M/n y ya ha sido tratado en relación con sistemas de pérdidas (véase el Capítulo 12).

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