Capítulo 14 Redes de filas de espera



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14.7 Redes cerradas de puesta en fila con múltiples cadenas


El tratamiento de redes de puesta en fila con múltiples cadenas es análogo al caso con una sola cadena. La única diferencia es que las fórmulas y algoritmos clásicos están reemplazados por las fórmulas multidimensionales pertinentes.

14.7.1 Algoritmo de convolución


El algoritmo es esencialmente el mismo que en el caso de una sola cadena:

Paso 1. Considérese cada canal como si fuera el único de la red. Obténgase la carga relativa en cada nodo resolviendo la ecuación (14.5) de equilibrio de flujo. En un nodo de referencia arbitrario se supone que la carga es igual a uno. Para cada cadena se puede determinar un nodo diferente como nodo de referencia. Para la cadena j en el nodo k se obtiene la intensidad de llegada relativa (el índice superior indica la cadena) mediante la siguiente expresión:



donde:


K = cantidad de nodos,

N = cantidad de cadenas,

= probabilidad que un cliente de la cadena j pase del nodo i al nodo k.

Se determina un nodo arbitrario como nodo de referencia, por ejemplo nodo 1, es decir = 1. La carga relativa en el nodo k debido a clientes de la cadena j es entonces:



donde es el tiempo medio de servicio en el nodo k para clientes de la cadena j. Cabe señalar que j es un índice superior y no una potencia.

Paso 2. Basado en las cargas relativas halladas en el paso 1, obténganse las probabilidades de estado multidimensionales para cada nodo. Cada nodo se considera aislado y se corta el espacio del estado conforme al número de clientes en cada cadena. Por ejemplo para el nodo k (1  k K):

pk = pk(i1, i2, . . . ,iN), 0  ij Sj, j = 1, 2, . . . N,

donde Sj es el número de clientes en la cadena j.

Paso 3. Para hallar las probabilidades de estado de toda la red, las probabilidades de estado de cada nodo se plantean de forma similar al caso de una sola cadena. La única diferencia es que la convolución es multidimensional. Cuando se efectúa la última convolución se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento desde la última cadena. Nuevamente, al cambiar el orden de los nodos, se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento de todos los nodos.

La cantidad de estados aumenta rápidamente. Por ejemplo, si la cadena j tiene Sj, el número total de estados en cada nodo será:



La cantidad de modos en que N cadenas con Sj clientes en la cadena j pueden ser distribuidos en una red de puesta en fila con K nodos se calcula con la siguiente expresión:



donde kj (1  kj < k) es el número de nodos visitados por la cadena j y:



El algoritmo se ilustra mejor con un ejemplo.



Ejemplo 14.7.1: Modelo máquina – reparador de Palm con dos tipos de clientes

Como se vio en el ejemplo 14.4.1, este sistema se puede modelar con una red de puesta en fila con dos nodos. El nodo 1 corresponde a los terminales (máquinas) mientras que el nodo 2 es la CPU (reparador). El nodo 2 es un sistema de servidor único mientras que el nodo 1 está modelado como sistema de servidor infinito. El número de clientes en las cadenas son (S1 = 2; S2 = 3) y el tiempo medio de servicio en el nodo k es . La carga relativa de la cadena 1 se representa por 1 en el nodo 1 y por 2 en el nodo 2. En forma similar, la carga de la cadena 2 se simboliza por 1 y 2, respectivamente. Aplicando el algoritmo de convolución se tiene:

• Paso 1.

Cadena 1: S1 = 2 clientes


Carga relativa: 2 = 1., 2 = 1 . .

Cadena 2: S2 = 3 clientes

Carga relativa: 1 = 2 . , 2 = 2 . .

• Paso 2.

Para el nodo 1 (IS) las probabilidades de estado relativas son (véase 14.1):

Para el nodo 2 (servidor único) (véase 14.15) resulta:



• Paso 3.

Se ponen los dos nodos en convolución. Se sabe que el número total de clientes es (2, 3), es decir, sólo hay interés en el estado (2, 3):

Utilizando los valores reales se tiene:



Se debe señalar que 1 y 2 juntos (cadena 1) siempre aparecen en la segunda potencia mientras que 1 y 2 (cadena 2) aparecen en la tercera potencia correspondiente al número de clientes en cada cadena. Debido a esto, sólo las cargas relativas son pertinentes, y las probabilidades absolutas se obtienen por proceso de normalización dividiendo todos los términos por q12(2, 3). Las probabilidades de estado detalladas son ahora fáciles de obtener. Sólo en el estado con el término (. )/12 está la CPU (reparador) inactiva. Si los dos tipos de clientes son idénticos el ejemplo se simplifica al modelo de máquina - reparador de Palm con cinco terminales. En este caso se tiene:



Si 1 = 1 =  y 2 = 2 = 1, resulta:



es decir, se espera la fórmula B de Erlang.


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