E. U. P. M. Departament de Màquines i Motors Tèrmics. U. P. C



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Laboratori de Mecànica de Fluids i Motors Tèrmics. E.U.P.M.

Departament de Màquines i Motors Tèrmics. U.P.C.

Prof: J.J. de Felipe



El punto de aplicación de la fuerza resultante debe ser tal que el momento de la misma en torno a cualquier eje, sea igual al momento de la fuerza distribuida alrededor del mismo eje.





siendo esta última integral el momento de inercia de la superficie respecto al eje x. Aplicando el teorema de Steiner:

Ixx = Icc +A * y2c. de g.

Por lo que sustituyendo, nos queda:

FR * y’ = p0 * y c. de g. * A +  * g * sen  * (Icc + A * y2c. de g.)

Por tanto, desarrollando la expresión:





Llamando presión total a:

ptotal = p0 +  * g * sen  * yc. de g.

Nos queda que:







5.2.   Fuerza hidrostática sobre una superficie curva sumergida.

Debido a que la fuerza de presión actúa normal a la superficie, tendremos un conjunto de vectores diferenciales de fuerza en diferentes direcciones, por ello el problema de cálculo es más complicado.

El procedimiento usual es sumar las componentes de los vectores de fuerza calculados separadamente.

Considerando la siguiente superficie curva:






z






dA

dAx

dAy

y

dAz

x
La fuerza de presión actuando sobre un elemento de área, dA, está dada por:



La fuerza resultante nos vendrá dada como siempre por:



Esta ecuación es difícil de integrar directamente, por lo que se recurre al cálculo separado de sus componentes.

Como podemos escribir la fuerza resultante como la suma de sus componentes vectoriales:

Para evaluar la componente de la fuerza en una dirección determinada (por ejemplo en la dirección del eje x), podemos hacer:



Donde dAx es la proyección de dA sobre el plano perpendicular al eje x (plano y – z).

Por lo que el problema se reduce al cálculo en una superficie plana vertical la fuerza resultante; siendo esta superficie vertical la proyección de la superficie curva sobre el plano yz.



Para la otra componente paralela a la superficie libre:



Donde dAz es la proyección de dA sobre un plano perpendicular a z (plano y – x).

Por lo que el problema se reduce al cálculo en una superficie plana vertical la fuerza resultante; siendo esta superficie vertical la proyección de la superficie curva sobre el plano yx.



Para evaluar la última componente de la fuerza, que es perpendicular a la superficie libre, seguimos el mismo procedimiento:



Por otra parte sabemos que:



y para este caso h = yaltura superficie libre – ycota superficie curva

Por lo que sustituyendo,

Por lo que el módulo de esta componente corresponde al peso de la columna de fluido entre la superficie libre y la superficie curva.

La línea de aplicación se calcula aplicando momentos:





Que no es ni más ni menos que el centroide del volumen de líquido que hay entre la superficie curva y la superficie libre.


6.   Flotación y estabilidad.
Cuando un cuerpo sólido sumergido se encuentra totalmente sumergido en un fluido, o se encuentra en la interfaz de dos fluidos no miscibles, (por ejemplo entre agua y aire), experimenta una fuerza ascendente sobre él llamada "fuerza de flotación".

La causa de esta fuerza es la diferencia de presiones que en cada lado del cuerpo es ejercida por el o los fluidos.

Vamos a imaginarnos un cuerpo totalmente sumergido:

La fuerza de flotación será la fuerza neta de presión ejercida por el fluido sobre su superficie inferior y sobre su superficie superior.

Para calcular la fuerza de flotación, (fuerza vertical debido a las fuerzas de presión hidrostáticas) consideraremos elementos de volumen cilíndricos:

En la parte superior del cilindro tendrá una fuerza vertical PB * dAy, que es igual al peso de la columna de fluido desde la superficie hasta la superficie libre del líquido.

En la parte inferior, la fuerza hidrostática, PD * dAy, será igual al peso de la columna de fluido hasta la superficie libre, Al ser un cilindro dAy = dAy, por tanto, la fuerza neta que recibe el fluido será:

dFB = (pD pB) * dAy

Si este análisis se restringe para los fluidos incompresibles, nos queda que:

dFB = (* g * yD –  * g * yB) * dAy

Por tanto fuerza total será:

Donde Ay es la proyección del área en el piano z x, y Vtotal, el volumen total del cuerpo sumergido.

Se denomina al lugar donde actúa esta fuerza como "centro de flotación", para fluidos incompresibles se calcula de la siguiente manera:

Donde y' es la posición del centro de gravedad del centroide (centro de gravedad) del volumen desplazado por el cuerpo.

En trabajos náuticos se ignora la densidad del aire, en cuyo caso, puede considerarse el centro de flotación en el centroide del volumen de agua desplazada.
6.1.   Consideraciones sobre estabilidad. El metacentro.

En general para cuerpos totalmente sumergidos la estabilidad sólo requiere que el centro de gravedad se localice por debajo del centro de flotación. (Ejemplo: la estabilidad de un globo).


Para cuerpos que flotan en la interfaz de fluidos, este requerimiento no es necesario pare la estabilidad.
Así, si disponemos de un buque escorado:


M



l





G





B

B’

d

y


En donde tenemos G, que es el centro de gravedad del buque, B es el centro de flotación cuando no existe escora (centroide del área sumergida) y B' es el centro de flotación cuando existe escora (el nuevo centroide de la nueva área sumergida).

Como sabemos, para que flote se debe cumplir que W (el peso) = FB = FB’.

Por otra parte será estable si una vez escorado vuelve a su posición original.

Para que se mueva a su posición original, el par de fuerzas FB’ y W, deben formar un par de fuerzas adrizantes, y sólo podemos conocer esto si el punto M, que es la intersección de la línea de acción de FB’ con el eje central de la sección transversal, llamado "Metacentro", se encuentra sobre el punto G del centro de gravedad del buque.

En general el índice de estabilidad, se da, por la denominada altura metacéntrica MG, que cuando mayor es su valor positivo, con más rapidez el buque vuelve a su posición original, si su valor es cero, existe estabilidad nula, y si tiene un valor negativo, el buque es inestable.
La altura metacéntrica MG, se calcula de la siguiente manera:

El seno del ángulo de escora es:

sen = d / MB

Por lo que:

MB =d / sen 
Por otra parte el barco cuando está escorado, presenta una cuña inundada en el lado izquierdo, y una cuña achicada en el lado derecho, esto nos produce un momento de fuerzas hidrostáticas (C), que asociada con la fuerza FB, es estáticamente equivalente a la única fuerza FB’ aplicada en B'; por tanto, también debe cumplirse que la suma de momentos respecto a un eje paralelo al "y" es igual a cero

- FB  d + C = 0

Por lo que: d = C / FB = C / W

por tanto: MB = C / (sen  W)

Por último nos falta conocer el valor de C:

Sustituyendo:

MB =  * g * Iyy / W

Como lo que nos interesa es MG:

MG = MB – 1 = ( * g * Iyy / W ) - 1

Así, sí:

 * g * Iyy / W > 1 Situación de estabilidad.

 * g * Iyy / W = 1 Estabilidad nula.

 * g * Iyy / W < 1 Situación inestable.


7.   Mecánica de fluidos en movimiento como un cuerpo o sólido rígido.

E1 movimiento de un fluido como un cuerpo rígido, comporta que éste se mueva en todo su conjunto sin deformación, por tanto si no existe deformación no actúan fuerzas superficiales de corte (o tangenciales), por lo que el único tipo de fuerza superficial que existe son las fuerzas normales o fuerzas de presión.

Aplicando la ecuación general de la estática, que sólo tiene en cuenta las fuerzas de

presión, y el segundo principio de Newton, obtenemos que pare un determinado "dV":





La segunda ley de Newton la podemos escribir como:





Por lo que obtendremos que:



Esta ecuación vectorial constará de tres ecuaciones de las correspondientes componentes que también se han de cumplir.

Para coordenadas rectangulares, tendremos:

-(p / x)  gx =  ax

- (p / y)  gy =  ay

- (p / z)  gz =  az


7.1.   Fluido con aceleración lineal uniforme.

Es un caso particular de un movimiento de un fluido como un sólido rígido. Es el caso que tengamos un fluido sometido a una aceleración constante en la dirección de un eje coordenada ortogonal, diferente del y (en donde actúa g). Es decir: ax = cte, ay = az = 0, gx = gz = 0, gy = -g

por lo tanto se debe cumplir que:

- (p/x) =  * ax =>

- (p/y) = * ay -  * g =>

Combinándolas con la expresión de "dp", para un volumen de control:

dp = (p/x) * dx + (p/y) * dy + (p/z) * dz

dp =    * ax * dx   * gy * dy

Esta ecuación la podemos integrar sí ax = cte.



Que es la ecuación de distribución de presiones para esta situación.

Por otra parte cuando dp = 0, significa que no hay variación de presión; por lo tanto nos indicarán las líneas de isopresión, si lo sustituimos en la ecuación diferencial, obtenemos:

0 =    * ax * dx    * gy * dy

dy/dx =   ax/g = pendiente de una recta.

Esto significa que las superficies de isopresión son rectas y tienen una determinada pendiente.


7.2.   Fluido con velocidad angular constante.

Otro caso particular de fluidos en movimiento como un sólido rígido, es el de un recipiente con líquido que gira a una velocidad angular constante.

Si el movimiento dura algún tiempo, el fluido gira como un sólido rígido.

La distribución de presiones para esta situación se obtiene integrando la ecuación general:



Pero es conveniente establecer las ecuaciones de presión en coordenadas polares:




y

P




x


r


z


Para un fluido en rotación a velocidad angular constante, se cumple:

vr = 0

vy = 0

v = r * w

La aceleración será:

ay = 0

a = 0

ar = - r * w2
Por tanto se cumplirá:

p/ = - * a = 0

p/y = - * g

p/r = - * ar =  * r * w2

Por lo que el diferencial de presión será:

dp =( p/8) * d + (p/y) * dy + (p/r) * dr =    * g * dy +  * r * w2 * dr

Integrando entre dos cotas, una conocida y otra no, por ejemplo:

Para p0 = patm, le corresponde una y1 = h1, y r1 = 0,

p - patm = int ( * r * w2 * dr)   int ( * g * dy)

p - patm = * r2 * w2/2   * g * (y – h1

que es la ecuación de la distribución de presiones.

Para la superficie libre (p = patm), obtenemos:

0 = * r2 * w2/2 –  * g * (y – h1)

y = (r2 * w2/2 * g) + h1



que es la ecuación de las líneas de isopresión, y corresponde a la ecuación de una

parábola con vértice en el eje y = h1.


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