Ecuación de propagación de una onda



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Ondas. Ecuación de propagación de una onda Departamento de Física y Química. IES Ramón y Cajal Zaragoza

Ecuación de propagación de una onda

Imaginemos una onda que viaja en una dirección, por ejemplo, una onda en una cuerda muy larga. Supongamos una situación ideal en la que el medio sea uniforme y la onda no pierda energía, de manera que la amplitud no disminuya a lo largo de su trayecto.


Si nos fijamos en un punto cualquiera de la cuerda, que habremos pintado previamente para diferenciarlo de los otros, observaremos que su movimiento es armónico, igual que el del punto donde se genera la onda. Sin embargo, hay una diferencia importante: su movimiento es igual que el del punto en el que se genera la onda, pero está desfasado.
Vibra del mismo modo que el punto de la cuerda que está en el origen, que denominaremos fuente de la onda, pero con un cierto retraso. Este retraso es el tiempo que tarda la onda en llegar.
Supongamos la ecuación del movimiento vibratorio del punto de la cuerda que se encuentra en el origen de la onda:
y = A sen wt


Figura
Cuando una onda se propaga, un punto P, al cual llega la onda, hace lo mismo que el origen pero con un retraso, t, igual al tiempo que tarda la onda en viajar desde el origen hasta el punto. El retraso del punto P es igual a la distancia que la onda recorre dividida entre la velocidad de propagación: t, = x/vp.

Como la onda viaja a una velocidad vp a través del medio, tarda un tiempo, que denominaremos tr (tiempo de retraso), en llegar a un pun­to que esté a una distancia x. Se ha de verificar:

vp = x/tr ; tr = x/vp
Podemos considerar que la ecuación con que vibra el punto a una distancia x es la misma que la ecuación con que vibra el que se encuen­tra en el origen, pero lo hace en un tiempo t - tr, retrasado respecto al origen:
y = A sen w (t – tr) = A sen [wt - w (x/vp)]
Si consideramos que vp = λ/T; vp = λf y w = 2πf, la ecuación anterior puede expresarse así:
y = A sen [wt - 2πf (x/λf) ] = A sen [wt – (2π/λ) x]
Si llamamos k, número de onda, a la expresión 2π/λ, la ecuación que indica cómo se mueve un punto que esté a una distancia x del ori­gen a lo largo del tiempo es la siguiente
y = A sen (wt - kx)
donde:

w = 2π/T
La ecuación anterior también puede escribirse así:

y = A sen 2π (t/T – x/λ)

Estas ecuaciones corresponden a un punto x que esté en la dirección hacia donde viaja la onda (a la derecha del origen), de manera que hace lo mismo que la fuente de la onda pero con un cierto retraso. Si la onda viaja en sentido contrario, de manera que pasa antes por el punto en la posición x que por el origen, será aquel punto el que vibre antes. En la ecuación an­terior, sólo cambiará el signo: habrá un signo + en lugar del signo -: y = A sen (wt + kx)


La ecuación de una onda armónica es: y = A sen (wt ± kx).
El signo - corresponde a aquella situación en que la onda viaja desde el origen hasta un punto de distancia x. El signo + corresponde a la situación inversa.
Es importante destacar que la amplitud de una onda y la elongación tienen las unidades que corresponden al tipo de perturbación que se transmite. Por ejemplo, si se trata de ondas en una cuerda o en el agua, las unidades de A e y corresponderán a las de una longitud; en cambio, si se trata del sonido, las unidades corresponderán a las de la presión; y, si se trata de una onda electromagnética, corresponderán a las del campo eléctrico o magnético.
y = A cos (wt - kx) y = A sen (kx - wt) y = A cos (kx - wt) son ecuaciones de ondas que se propagan hacia la izquierda en el eje de coordenadas. En cambio las ecuaciones
y = A cos (wt + kx) y = A sen (kx + wt) y = A cos (kx + wt) son ecuaciones de ondas que se mueven hacia la derecha en el eje de coordenadas.
Ejemplo 1
Escribe la ecuación de la onda armónica que se produce cuando el extremo de una cuerda vibra con una amplitud de 0,4 m y una frecuencia de 3 Hz. La velocidad de propagación de la onda en la cuerda es de 6 m s-1.
Solución

Podremos escribir la ecuación si conocemos los tres parámetros que inter­vienen: A, w y k. El valor de A es 0,4 m. El valor de w se calcula fácilmente:

w = 2nf = 2 π rad x 3 s-1 = 6 π rad s-1

Para poder calcular k, hay que conocer la longitud de onda, que debe cal­cularse a partir de la velocidad de propagación y la frecuencia


vp = λ f; λ = vp/f = 6 m/s-1/ 3 s-1 = 2 m
k = 2π/ λ = 2π/ 2 = π rad m-1
Finalmente, sustituimos A, w y k en la ecuación general de las ondas:
y = A sen (wt - kx)
y = 0,4 sen (6π t - π x)
Ejemplo 2

La ecuación de una onda armónica es y = 0,050 sen (12,6t - 4,2x). Calcula:



  1. La amplitud, longitud y velocidad de propagación de la onda.

  2. La velocidad y aceleración máximas de un punto del medio a través del cual pasa la onda.


Solución

a) Si comparamos la ecuación y = 0,050 sen (12,6t - 4,2x) con la ecuación general de las ondas, y = A sen (wt - kx), advertiremos que A = 0,050, w=12,6 y k = 4,2. A partir de w, podemos calcular la frecuencia y, a par­tir de k, la longitud de onda y la velocidad:


w = 2 π f; f = w/2 π = 12,6 rad s-1 / 6,28 rad = 2,0 Hz
k = 2 π / λ; λ = 2 π / k = 6,28 rad / 4,2 rad m-1 = 1,5 m
v p = λ f = 1,5 m x 2,0 s-1 = 3,0 m s-1


  1. La velocidad y la aceleración máximas de vibración de un punto del me­dio pueden calcularse de acuerdo con las fórmulas correspondientes a un movimiento armónico simple:

v máx=Aw = 0,050 m . 12,6 rad s-1 = 0,63 m s-1

a máx = Aw2 = 0,050 m . (12,6 rad s-1)2 = 7,9 m s -1

Actividades
3. La ecuación de una onda es y = 2,5 sen 2π (t/4+2x). Calcula su amplitud, frecuencia, longitud y velocidad de propagación. ¿Cómo se propaga la onda, acercándose o alejándose del origen?

4. La ecuación de una onda que se propaga en una cuerda es:


y = 0,001 sen(314t-62,8x)
a) ¿A qué velocidad y en qué sentido se mueve la onda?

b) ¿Cuáles son la longitud de onda, la frecuencia y el período?

c) ¿Cuáles son las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración, en función del tiempo, de una partícula que se encuentra en el punto x = 0,03 m?

Las ondas, como ya se ha dicho, se caracterizan por una doble periodicidad: en el tiempo y en el espacio. Un punto repite su movimiento al cabo de un tiempo T, y dos puntos separados una distancia igual a la longitud de onda, λ, vibran de la misma manera.


Consideremos la ecuación de una onda armónica: y = A sen (wt - kx). Supongamos que se mueve hacia la derecha, en la dirección x.
Observamos que y puede adoptar valores entre A y -A; el valor con­creto de y depende del instante t y de la posición x del punto que consi­deremos. Todos los puntos que tengan el mismo valor de wt - kx vibra­rán de la misma forma; por ello, esta expresión se denomina fase, φ, y se mide en radianes:

φ = wt – kx

Si se consideran dos puntos o dos instantes diferentes, la diferencia entre las fases correspondientes se denomina diferencia de fase o, simplemente, desfase, Δ φ:
Δ φ = (wt2 - kx2) - (wt1 – kx1)
A menudo, se mide el desfase entre dos puntos diferentes en el mis­mo instante. Si el tiempo es igual, el desfase puede calcularse de la si­guiente manera:
Δ φ = (wt - kx2) - (wt - kx1)= k(x1 - x2)




La gráfica nos muestra cómo varía y en función de x, para un tiempo constante. Observamos que el valor de y se repite periódicamente para intervalos de x iguales a la longitud de onda λ

Dos puntos están en fase si su desfase es 0, 2 π, 4 π, ..., en general n2 π (donde n es cualquier número entero, positivo o negativo). Si es así, vibran de la misma manera. Como puede comprobarse, dos puntos están en fase si su separación, xl - x2, es múltiplo entero de la longitud de onda:

n 2 π = (2 π / λ) (xl - x2)
(xl - x2) = n λ Los dos puntos vibran en fase

Figura

a) Los puntos a y a’ y b y b' están
en fase, ya que en cualquier instante vibran con la misma elongación y velocidad. Dos puntos están en fase si están a una distancia igual a un número entero de longitudes de onda.

b) Los puntos d y d' y e y e' están en oposición de fase. Dos puntos están en oposición de fase si están separados por un número impar de medias longitudes de onda.




Cuando los dos puntos tienen un desfase de π, 3π, 5π, ..., en general (2n+1)π (donde n es cualquier número entero), vibran en oposición de fase, lo que significa que se mueven de la misma manera, pero en sen­tidos opuestos. Puede comprobarse que cuando una onda viaja, dos puntos vibran en oposición de fase si están separados por una distancia de λ /2, (3/2) λ, (5/2) λ, en general, (2n+l)( λ /2):


Δ λ = (2π / λ) (xl - x2) = (2n + 1) π
x1 - x2 = (2n + 1) λ /2 => Los puntos vibran en oposición de fase
Naturalmente, entre estas situaciones extremas hay todas las otras posibilidades, donde los puntos no están ni en fase ni en oposición de fase, y su desfase se caracteriza, simplemente, por el valor de Δ φ.
Ejemplo 4
La ecuación de la propagación de una onda es y = 0,050 sen (12,6t - 4,2x).

  1. Calcula el desfase entre dos puntos separados 2 m.

  1. ¿Cuál es la mínima distancia entre dos puntos que vibran en oposición de fase?

Solución


a) El desfase entre dos puntos debe calcularse a partir de la expresión
Δ φ = (2 π / λ) (x1 - x2). La longitud de onda puede deducirse a partir de
k = 2 π/ λ; λ = 2 π rad/4,2 rad m-1 = 1,5 m
el desfase resulta:

Δ φ = (2 π / λ) (x1 - x2) = (2 π rad/1,5 m) 2 m = 8 π/3 rad




  1. Dos puntos que vibran en oposición de fase han de estar separados me­dia longitud de onda o, en general, un número impar de medias longitu­des de onda. Como la longitud de onda es 1,5 m, la mínima distancia entre dos puntos en oposición de fase es 0,75 m

Actividades

5. Una onda se propaga según la ecuación:

y = 0,25 sen (8 π t- 12 π x)
a) ¿Cuál es el desfase entre dos puntos separados por 0,5 m?

b) ¿Qué sepa­ración han de tener dos puntos para que estén en fase?

c) ¿Qué distancia hay entre dos puntos que tienen un desfase de π /2 radianes?

6. Una onda de 30 Hz de frecuencia se desplaza a una velocidad de 80 m s-1



a) ¿Cuál es la distancia entre dos puntos que tienen una diferencia de fase de 30o?

b) Si la amplitud de onda es de 0,05 m y viaja alejándose del ori­gen, ¿cuál es la ecuación de la onda?
Para completar la idea de desfase entre dos puntos diferentes en el mis­mo instante, también podemos considerar el desfase de un mismo punto de la cuerda en dos instantes diferentes, o periodicidad respecto al tiempo. En este caso, si la posición x es la misma, el desfase en diferentes instantes puede calcularse de la si­guiente manera:
Δ φ = (wt2 - kx) - (wt1 - kx)= w(t2 – t1)




En la gráfica observamos cómo varía y en función de t, para un punto fijo. Observamos que el valor de y se repite periódicamente para intervalos de t iguales al período T.

Al igual que el caso anterior, dos puntos están en fase si su desfase es 0, 2 π, 4 π, ..., en general n2 π (donde n es cualquier número entero, positivo o negativo). Si es así, vibran de la misma manera. Como puede comprobarse, dos puntos están en fase si el tiempo transcurrido en la oscilación, t2 – t1, es múltiplo entero del período:


n 2 π = (2 π / T) (t2 – t1)
(t2 – t1) = n T Los dos puntos vibran en fase
Veamos ahora, al igual que ocurría entre dos puntos diferentes de la onda que vibraban en oposición de fase, también tenemos en un mismo punto x, instantes que vibran en oposición de fase: cuando el desfase de tiempo es de π, 3π, 5π, ..., en general (2n+1)π (donde n es cualquier número entero), un punto se encuentra vibrando en oposición de fase, lo que significa que se encuentra vibrando de la misma manera, pero en sen­tido opuesto.

Puede comprobarse que en un movimiento ondulatorio, un punto vibra en oposición de fase si ha transcurrido un tiempo T/2, (3/2) T, (5/2) T, en general, (2n+l)( T /2):


Δ φ = (2π / T) (t2 – t1) = (2n + 1) π
t2 – t1 = (2n + 1) T /2 => Los puntos vibran en oposición de fase
Naturalmente, entre estas situaciones extremas hay todas las otras posibilidades, donde los puntos no están ni en fase ni en oposición de fase, y su desfase se caracteriza, simplemente, por el valor de Δ φ.
Energía de una onda
Ya que las ondas transportan energía y cantidad de movimiento a tra­vés de vibraciones que se transmiten de un punto a otro, es interesante poder medir la energía transportada por una onda armónica.
Consideremos una onda armónica que se propaga en cierta dirección. Cuando una partícula del medio es alcanzada por la perturbación que produce la onda, se ve sometida a un movimiento armónico igual al punto que generó la onda (siempre que no se produzca disipación de energía) La energía que posee en el punto es cinética, debido al movimiento de oscilación y potencial elástica, debida a la posición que ocupa respecto a la posición de equilibrio. Tal como vimos en los movimientos vibratorios, los movimientos armónicos provienen de campos de fuerzas conservativos.
Por este motivo, la suma de la energía cinética más la potencial, que constituyen la energía mecánica total, se conserva.
La energía cinética Ec que posee la masa m del punto que oscila con movimiento armónico, es: Ec = ½ mv2
La energía potencia elástica, Ep, causada por la fuerza elástica que tiende a desplazar al punto m de su posición de equilibrio, es: Ep = ½ Ky2 siendo y la elongación de la partícula.
Cuando la partícula ha adquirido la máxima elongación A, toda su energía es potencial elástica, mientras que cuando pasa por la posición de equilibrio, toda su energía es cinética. En los puntos intermedios, la partícula dispondrá de energía cinética y potencial, pero la suma de ambas, en cualquier instante, debido a su conservación es:
Em = Ec máx = ½ m v2máx
Para obtener el valor de la velocidad, vmáx, ya sabemos que hay que derivar respecto al tiempo el valor de y, y su valor es: v(t) = Aw cos wt, por lo tanto el valor máximo que adquiere la velocidad en los puntos de equilibrio es:

vmáx = Aw
sustituyendo en el valor de Em; E = ½ m A2 w2 = ½ m A22 f2;

E = 2 m A2 π2 f2

La energía transmitida por una onda armónica es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de su frecuencia.

Si queremos expresar el valor en términos de Potencia, donde definimos la potencia como la energía transferida por unidad de tiempo:

P = E/Δt = [2 m A2 π2 f2] / Δt


Intensidad de las ondas. Caso de ondas bidimensionales y tridimensionales


Además de las ondas que se propagan en una dimensión (unidimensionales) y que teóricamente hemos analizado, existen ondas que se propagan en dos o en tres dimensiones, es decir, sobre una superficie o en el espacio. A estas ondas se las denomina bidimensionales o tridimensionales. Los ejemplos más típicos son las ondas producidas en la superficie del agua o las ondas sonoras en el aire.


λ

En el caso de ondas que se propagan en dos o tres dimensiones se define el concepto de intensidad de onda I.
Cuando arrojamos una piedra sobre la superficie del agua del un estanque se forman una serie de circunferencias concéntricas. Decimos que se ha originado un frente de ondas o superficie de onda.
Después de un tiempo, el movimiento ondulatorio ha alcanzado todos los puntos de una circunferencia de radio R1. Todos estos puntos que constituyen un frente de onda, presentan el mismo estado de vibración, vibran en concordancia de fase.
En los casos de ondas bidimensionales o tridimensionales y si el medio es homogéneo e isótropo, un foco emisor producirá un frente de onda circular o esférico con centro en el foco emisor.
Que un medio es homogéneo, quiere decir que tiene las mismas propiedades y el mismo comportamiento en todos sus puntos.
Que un medio es isótropo significa que sus características físicas no dependen de la dirección
La dirección de propagación de las ondas es perpendicular al frente de ondas y su velocidad es la misma en todas las direcciones radiales.
Rayo, es la recta que indica la dirección de propagación de una onda. Su dirección es siempre perpendicular al frente de onda.
Una vez que el foco emisor ha producido la perturbación, el movimiento ondulatorio generado va alcanzando los frentes de onda de radio cada vez mayor. Éstos reciben la energía procedente del foco central, que se reparte por toda la superficie de la onda. Teniendo en cuenta esta superficie, se introduce un nuevo concepto, la intensidad I.

Se define la intensidad de una onda, I, como la energía que atra­viesa por segundo la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación:


I = E/ Δt.S

Puesto que la energía por segundo es la potencia, la intensidad de una onda, I, se mide en Wm-2 o J.s-1. Si la potencia es P y la superficie es S, tenemos:


I = P / S

Si se considera una onda mecánica, de cualquier tipo, puede de­mostrarse que su intensidad es proporcional al cuadrado de la ampli­tud de vibración:


I α A2;
Veamos; si en la ecuación: I = P / S sustituimos el valor de la Potencia, quedará:
I = P / S; I = [2 m A2 π2 f2] / S. Δt

Donde se observa que la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de vibración y al cuadrado de su frecuencia


Consideremos ahora dos superficies esféricas a las distancias R1 y R2 del foco emisor, la intensidad de cada superficie será:
I1 = E / Δt.S = E / Δt 4πR12; I2 = E / Δt 4πR22
De donde se deduce que para una onda esférica: I1/I2 = R22/R12

Es decir, la intensidad de un movimiento ondulatorio, cuyas superficies de onda son esféricas, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el foco emisor.


Y, como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, también deberá serlo de la intensidad. Como consecuencia, la amplitud de la vibración es inversamente proporcional a la distancia al foco emisor:
I1/I2 = R22/R12; I1/I2 = A12/A22, por lo que R2/R1 = A1/A2
El caso de las ondas electromagnéticas…. Estas ondas presentan una gran diferencia

En cambio, no sucede lo mismo con la energía de las ondas electro­magnéticas. A inicios del siglo XX, Einstein propuso la idea de que la luz y las otras ondas electromagnéticas transportaban la energía en unas unidades que denominó fotones, de manera que la energía trans­portada por cada fotón es proporcional a la frecuencia:



Efotón = h.f

El factor h se denomina constante de Planck y su valor es de 6,6 x 10-34 Js; un valor tan pequeño de h supone que, aunque algunos fotones tengan una frecuencia muy elevada, como por ejemplo los de los rayos gamma, la energía transportada por un único fotón sea muy pequeña.


La energía total de la luz es la suma de las energías transportadas por todos los fotones. Sin embargo, los efectos energéticos de la luz de­penden del efecto de cada fotón individual sobre los átomos o molécu­las del material. Si un fotón puede provocar algún tipo de efecto, como la ruptura de un enlace determinado de una molécula, cuantos más fo­tones choquen, más moléculas se romperán; en cambio, si un fotón in­dividual no dispone de suficiente energía, no se producirá ningún efec­to ni se romperá ningún enlace, aunque choquen muchos fotones.
Si tenemos luz monocromática de frecuencia f, la energía total que transporta es igual al producto del número de fotones, n, por la ener­gía, hf, que transporta cada fotón:
Etotal = n Efotón = n.h.f
Este comportamiento es totalmente diferente del de las ondas me­cánicas, que podemos imaginar que actúan gradualmente y que pue­den transferir energía de una forma continua. Por ello, como verás más adelante, se dice que la luz presenta una dualidad onda-partícula. Cuando viaja, se comporta como una onda y reúne las propiedades ca­racterísticas de las ondas; pero, cuando choca, se comporta como si fuera una partícula dotada de cantidad de movimiento y energía. Este comportamiento se estudiará en la última unidad del libro.
Fíjate que ahora, a diferencia de las expresiones que hemos obtenido para las ondas esféricas mecánicas, la Intensidad que se define como:
I = E/ Δt.S; y, en términos de potencia: I = P / S
ahora tiene una expresión: I = n.h.f / Δt.S
Si la onda es esférica, S = 4πR2, sustituyendo, tenemos: I = n.h.f / Δt. 4πR2

donde n.h.f / Δt es la potencia de la onda electromagnética



la frecuencia puede determinarse a partir de la λ de la onda electromagnética, da acuerdo con la expresión c = λ.f
La energía de la radiación electromagnética y de las partículas elementales se mide, normalmente, en electronvoltios (eV). Como ya has visto en la unidad en que se estudiaba el campo eléctrico, 1 eV es la energía de un electrón que se acelera con una diferencia de potencial de 1 V y es igual a 1,6 x 10-19 J. Los electronvoltios son una unidad muy conveniente, ya que permiten comparar fácilmente la energía de dife­rentes radiaciones.


Figura

Las manchas del zumo de cereza son difíciles de limpiar. Conviene tender al sol la pieza manchada y dejar que los fotones rompan las moléculas de los colorantes. Gradualmente, el color de la pieza manchada irá desvaneciéndose.



Figura

Relación entre la sensación de color, la longitud de onda, la frecuencia y la energía de la luz visible.





Sensación (color)

rojo

amarillo

verde

violeta

Longitud de onda (nm)

700

570

515

400

Frecuencia (Hz)

4,3 x1014

5,3 x 1014

5,8 x 1014

7,5 x 1014

Energía (eV)

1,8

2,2

2,4

3,1

La energía que corresponde a los fotones de luz roja (650 nm) es de unos 2eV, mientras que los fotones de rayos X transportan una energía de más de 70 000 eV: los fotones de rayos X transportan unas 35000 veces más energía que los de luz roja. Por otro lado, es evidente que, si se quiere obtener rayos X a partir del choque de electrones acelerados en un campo eléctrico, la diferencia de potencial necesaria es de más de 70 kV

- Ejemplo 5

La intensidad de la radiación que llega a la Tierra procedente del Sol es, aproximadamente, de 1400 Wm-2. El Sol se halla a unos 150 millones de kilómetros de distancia respecto de la Tierra. ¿Cuál es, aproximadamente, la energía total que libera cada segundo? Si toda esta energía fuera trans­portada por fotones de 500 nm de longitud de onda, ¿cuántos fotones emi­tiría el Sol por segundo?

Solución
La energía del Sol ha de distribuirse en un frente de onda esférico. A la dis­tancia r (la que le separa de la Tierra) este frente de onda tiene una superfi­cie de:

S = 4 π r 2 = 4 x 3,14 x (150 x 106 x 103 m)2 = 2,8 x 1023 m2

A cada metro cuadrado de superficie perpendicular a la dirección de pro­pagación, en la Tierra, llegan 1 400 W. Si calculamos la potencia que llega a la superficie de toda la esfera de radio r, obtendremos la potencia que ha de salir del Sol:
Psol = 1 400 W m-2 x 2,8 x 1023 m2 = 3,9 x 1026 W

C


Figura
En los lugares donde la radiación del Sol llega intensamente, pueden construirse plantas de energía solar que concentren la radiación mediante una gran cantidad de espejos (que pueden variar de orientación) en un recipiente donde la intensidad del calor hace hervir agua y genera vapor que mueve una turbina.
ada segundo salen del Sol 3,9 x 1026 J de energía. Si suponemos que la transportan fotones de 500 nm, hemos de calcular, en primer lugar, qué energía tiene cada fotón:


E = = hf = h.c / λ = 6,6 x 10-34 Js . 3.108 m.s-1 / 500.10-9m = 4,0 x 10-19 J

La energía total emitida por el Sol por segundo ha de ser la energía que transporta un fotón multiplicada por el número de fotones emitidos por se­gundo, n:


Etotal = n Efotón = n.h.f

3,9 x 1026J = nx4,0x 10-19 J


n = 9,7 x 1044 fotones

Actividades
7. Si consideramos los fotones correspondientes a diferentes colores de la luz visible, ¿cuáles tienen más energía, los de la luz roja o los de la luz violeta? ¿Cuál es la energía de un fotón de luz roja de longitud de onda de 630 nm? ¿Y la de uno de luz amarilla de 590 nm de longitud de onda?
8. En un laboratorio de revelado fotográfico, hay unos procesos que se pue­den realizar con luz roja, para facilitar la manipulación de los enseres y observar cómo evoluciona el proceso sin velar las fotografías. ¿Por qué no se puede utilizar una bombilla de luz amarilla o azul?
9. Los fotones de luz violeta tienen una longitud de onda de 400 nm; los de luz roja, de unos 650 nm. ¿Cuántas veces es mayor la energía de los fotones de luz violeta que los de luz roja?
10. Se aceleran electrones con una diferencia de potencial de 100 kV que, cuando chocan con un metal, producen rayos X. ¿Cuál es la máxima fre­cuencia que puede tener la radiación, suponiendo que toda la energía ci­nética de los electrones se transfiere a los fotones de rayos X


Atenuación y absorción
A medid que se aleja el foco emisor, la onda disminuye su energía; esto se debe a que:

La energía propagada se distribuye en la superficie del frente de onda y el número de partículas en vibración aumenta, por lo que la energía que alcanza a cada partícula es menor y, en consecuencia, vibran con menos energía. Este fenómeno se denomina atenuación o disminución natural de la energía.


Los rozamientos de las partículas del medio y otras causas producen una absorción de energía, cuya magnitud depende de la naturaleza del medio de propagación de la onda.
Una absorción de energía muy grande puede conducir a la anulación de la onda.
Se demuestra que la intensidad de una onda decrece exponencialmente con la distancia del foco emisor, de acuerdo con la expresión siguiente:
I = Io e-βR
Donde

I: intensidad de la onda a la distancia R del foco emisor

Io: intensidad inicial.

Β: coeficiente de absorción del medio

R: distancia al foco emisor

Resumen:

Llamamos intensidad de un movimiento ondulatorio a la potencia transmitida por cada metro cuadrado de superficie del medio, perpendicular a la dirección de propagación. Hay dos causas principales de pérdida de intensidad.





La distancia al foco. Atenuación:   La intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de las ondas y la amplitud es inversamente proporcional a esa distancia. Al disminuir la amplitud, las partículas vibran con menor energía

I1/I2 = R22/R12 R2/R1 = A1/A2

donde I1 e I2 son las intensidades a las distancias R1 y R2 del origen, mientras que A1 y A2 son las amplitudes de las ondas.





La absorción por el medio:   La energía de las ondas es absorbida por el medio de acuerdo con la ley:

I = Io e- βR

donde Io es la intensidad antes de penetrar en el medio, R es la distancia penetrada y β es el coeficiente de absorción, una constante que depende del medio.

 


http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ondas2/ondas-conclusion4.html?3&2

Ondas sonoras
La vibración de las cuerdas de una guitarra, la de una campana, un timbre eléctrico, una copa de cristal o la de nuestras cuerdas vocales mueve las capas de aire del entorno. Estas vibraciones de los cuerpos se transmiten mediante un movimiento ondulatorio.
Si la vibración llega a través del aire a nuestro oído, provoca en el tím­pano vibraciones que son transmitidas al oído interno y, de allí, al ce­rebro, produciendo una sensación que llamamos sonido
El sonido es una vibración o perturbación mecánica de algún cuerpo que se propaga en forma de ondas a través de cualquier medio material elástico. La onda mediante la cual se propaga el sonido a través de un medio material elástico se denomina onda sonora.
Ésta se caracteriza por tener una frecuencia dentro del intervalo de percepción del oído humano normal de 20 Hz a 20000 Hz.
Ejemplos de onda sonora son las generadas por las cuerdas vocales, por los instrumentos de música...
Sin embargo, no todas las ondas son audibles para el oído humano:
— Las ondas infrasónicas, cuyas frecuencias están por debajo del .intervalo audible (frecuencias inferiores a 20 Hz). Son las generadas, por ejemplo, por los temblores de tierra.

— Las ondas ultrasónicas, cuyas frecuencias están por encima del intervalo audible (frecuencias superiores a 20000 Hz). Son las generadas, por ejemplo, al inducir vibraciones en un cristal de cuarzo con un campo eléctrico alterno.


Mecanismo de formación de las ondas sonoras
Las ondas sonoras son un caso particular de ondas longitudinales. Consisten en sucesivas compresiones y dilataciones del medio de pro­pagación, producidas por un foco en movimiento vibratorio. Al paso de la onda, el medio experimenta variaciones periódicas de presión.
La figura muestra el mecanismo de formación y propagación de las on­das sonoras unidimensionales, mediante un émbolo vibratorio situado en un extremo de un cilindro estrecho de longitud indefinida que con­tiene un gas


Al empujar el émbolo hacia la derecha, el gas se comprime en la región más próxima a éste aumentando la presión y la densidad del gas. Se forma un pulso de compresión que viaja hacia la derecha.

Al empujar el émbolo hacia la izquierda, el gas próximo a éste se expansiona dis­minuyendo su presión y su densidad; se produce un pulso de enrarecimiento que se propaga por el cilindro.

Al hacer oscilar el émbolo rápida y periódicamente, viaja por el cilindro un tren de compresiones y enrareci­mientos; la onda longitudinal se propaga por el tubo, siendo λ la distancia entre dos compre­siones o dos enrarecimientos sucesivo






RUIDO

El sonido se origina por variaciones periódicas, ordenadas, de la pre­sión, mientras que el ruido se pro­duce por un solo pulso de presión o por una sucesión desordenada de cambios de presión.

El ruido está formado por ondas no periódicas; su amplitud y su fre­cuencia varían incesantemente.

Produce ruido una madera que cru­je y se parte, un libro que se cae al suelo, una motocicleta que arranca...



La gráfica muestra el desplazamiento, respecto a la posición de equilibrio, de cada pequeño elemento de volumen del gas del cilindro al paso de una onda.

Cualquier elemento de volumen oscila con movimiento armó­nico, desplazándose paralelamente a la dirección de propa­gación de la onda, el eje OX. Este desplazamiento, s, varía sinusoidalmente a lo largo del eje OX.

Llamamos amplitud de desplazamiento, Smáx, al máximo desplazamiento de un pequeño elemento de vo­lumen del medio respecto a su posición de equilibrio.

Los desplazamientos de las partículas del gas dan lugar a una variación de la presión a lo largo del eje OX. Esta variación se produce también sinusoidalmente aunque con un desfase de π/2 rad respecto a la gráfica anterior.

Llamamos amplitud de presión, ΔPmáx, al cambio máximo de la presión a partir de su valor en el equilibrio.

Como se ve al comparar ambas gráficas:


  • Δ
    Las ondas sonoras, como cualquier onda mecánica, necesitan un me­dio material elástico para su propa­gación; en el vacío el sonido no se propaga.
    La naturaleza longitudinal de las ondas sonoras se pone de mani­fiesto por el hecho de que los flui­dos, tanto los líquidos como los ga­ses, son capaces de transmitirlas; lo que es debido a que éstos pue­den experimentar compresiones y enrarecimientos, es decir, variacio­nes de presión sucesivas
    P es máxima cuando el desplazamiento es cero.

  • ΔP es nula cuando el desplazamiento es máximo

La onda sonora puede considerarse como una onda de desplazamiento o como una onda de presión.


S (x,t) = So sen (wt-Kx)
ΔP (x,t) = ΔPo sen (wt-kx-π/2)
Para facilitar el estudio del sonido como una onda longitudinal, lo realizaremos ondas de cambio de presión, de acuerdo a esta última expresión.


ACTIVIDADES
Define el sonido desde el punto de vista físico y pon ejemplos cotidianos de ondas sonoras.
¿Por qué decimos que las ondas sonoras son longitudinales?
¿Cuáles son los límites de frecuencia de las ondas sonoras para que sean audibles por el oído humano?
Justifica la siguiente afirmación: Hay sonidos para los cuales todos somos sordos.
Di qué ondas tienen mayor frecuencia, las ultrasónicas o las infrasónicas.
Recuerda la relación entre la frecuencia de un movimiento ondulatorio y su energía. A continuación, deduce si tiene mayor energía una onda ultrasó­nica o una onda infrasónica.
Describe el mecanismo de formación y propagación de una onda sonora. Haz un dibujo que lo ilustre.
Una onda sonora puede considerarse como una onda de desplazamiento o una onda de presión. ¿Qué diferencia de fase existe entre el desplaza­ miento y la presión de una onda sonora?
Investiga acerca de algunas aplicaciones médicas de los ultrasonidos. Con la información obtenida, elabora un informe y exponlo en clase.
Nota: cambio de presión en una conversación: 7.10-9m = 0,02 Pa

Patm 1 atm = 101300 Pa


Cualidades del sonido
Nuestros oídos pueden diferenciar un sonido fuerte de uno débil y un so­nido grave de otro agudo. Además, distinguimos si proceden de uno u otro instrumento musical, de una u otra persona... Todo ello es posible gracias a tres cualidades del sonido relacionadas con las características de las on­das: la intensidad, el tono y el timbre.

Intensidad sonora
La intensidad sonora presenta dos aspectos bien dife­renciados: la intensidad física u objetiva y la intensidad fisiológica o subjetiva.
La intensidad física u objetiva, es decir, el volumen acústico, es la energía que transmite la onda sonora por unidad de tiempo a través de la unidad de superficie per­pendicular a la dirección de propagación.
La intensidad fisiológica o subjetiva es la sensación sonora de mayor o menor intensidad que percibe el oído humano.


El intervalo de intensidades sonoras que puede percibir el oído va desde el umbral de audición o intensidad mínima audible de 1,0. 10-12 W/m2 hasta el umbral de dolor de 1 W/m2, que ocasiona sensación dolorosa en la mayoría de las personas.


Para medir el nivel de intensidad sonora: sonoridad percibida por el oído, se establece una escala logarítmica. Este nivel de intensidad sonora se mide en decibelios.
Decibelios


Fuente de sonido

β/dB

martillo neumático

130

concierto de rock

120

aspiradora

70

conversación normal

50

susurro

30

rumor de las hojas

10

umbral de audición

0

Tabla

El oído humano puede detectar el sonido en un intervalo de intensidades enorme. El sonido de intensidad más elevada que podemos tolerar (um­bral de dolor) es 1012 veces más grande que el más débil que podemos lle­gar a oír (umbral de audición). Como la respuesta del sistema auditivo no es lineal, sino logarítmica, es conveniente definir una escala de medición de la intensidad de sonido que también sea logarítmica.


La intensidad relativa de un sonido se denomina nivel de intensidad, β, y se mide en decibelios (dB). Se define como:

β = 10 log (I/Io)

donde I0, denominado umbral de audición, es la intensidad mínima de so­nido que podemos oír; su valor es de 10-12 Wm-2. La intensidad de un soni­do, I, se traduce a nivel de intensidad utilizando la fórmula anterior. Así pues, un sonido en el umbral de dolor, con un valor de I igual a 1 Wm-2, corresponde a un nivel de intensidad β de 120 dB

Un valor de 0 dB equivale al umbral de audición. Y 120 dB equivalen al umbral de dolor. Los sonidos de menos de 10 dB son difícilmente audibles, mientras que los supe­riores a 100 dB producen molestias; a partir de 140 dB experimentamos dolores agudos.
Actividad
Calcula el nivel de inten­sidad de un sonido que tiene una intensidad de 10-5 W.m--2 (como, por ejem­plo, el sonido de una má­quina de escribir). ¿Cuál es la intensidad del sonido en un concierto de rock?





El nivel de intensidad sonora del rumor de las hojas en un bosque-espeso es de 10 dB, v el de un concierto de rock es de 120 dB. La intensidad del sonido en el concierto es 1011 veces mayor que en el bosque


Tono

Permite distinguir los sonidos graves de los agudos. De­pende de la frecuencia del sonido y, por lo tanto, de las compresiones y enrarecimientos que el oído percibe por segundo.


Los sonidos graves o tonos bajos corresponden a las ondas de baja frecuencia (pocas vibraciones por se­gundo).
Los sonidos agudos o tonos altos corresponden a las ondas de mayor frecuencia (gran número de vibraciones por segundo).

Nota

f(Hz)

La

440,0

Si

493,9

Do

523,2

Re

587,3

Mi

659,3

Fa

698,5

Sol

784,0

La#

880,0
Gracias a esta cualidad del sonido podemos distinguir las diferentes notas que emite un mismo instrumento musical.
E
Tabla 2

Frecuencias de las notas musicales

(escala cromática).
l sonido puede clasificarse de acuerdo con su fre­cuencia: denominamos sonido audible aquel que podemos oír, cuya frecuencia está comprendida entre 20 y 20000Hz, aproximadamente. Los sonidos de frecuencia mayor de 20000Hz se denominan ultraso­nidos, y los de frecuencia menor de 20Hz, infrasonidos.

Timbre

Esta cualidad nos permite distinguir dos sonidos de igual intensidad y tono emitidos por dos focos sonoros distintos.


El timbre depende de la forma de la onda sonora y nos permite distinguir si un sonido procede de un violín o de una guitarra, reconocer a las personas por su voz aun­que no las veamos.
Normalmente, los sonidos no son puros, es decir, las on­das sonoras correspondientes no son perfectamente sinusoidales, sino que son el resultado de varios movi­mientos periódicos superpuestos a la onda fundamental y se denominan armónicos o sobretonos. Así, cada sonido procedente de un instrumento musical, de una persona o de un foco sonoro cualquiera es una onda compuesta y tiene unas características específicas que lo distinguen de los demás.
El timbre de un sonido depende del número, de la inten­sidad y de la frecuencia de los distintos armónicos que acompañan al sonido fundamenta

Ejercicios
1. Cierta fuente puntual emite ondas sonoras de 80 W de potencia.

  1. calcular la intensidad de las ondas a 3,5m de la fuente.

  2. ¿A qué distancia de la fuente el sonido se reduce a un nivel de 40 dB?

2. Describe las cualidades del sonido y pon ejemplos de ellas.


3. Calcula el nivel de intensidad sonora que corresponde a los umbrales de audición (/0 = 1,0 10-12 Wm-2) y de dolor (/ =1,0 Wm-2).

Sol= 0 dB y 120 dB

4. Razona si el oído humano es capaz de percibir ondas sonoras de nivel de intensidad 100 dB cuyas longitudes de onda en el aire sean 30 m, 12 m y 0,003 m.


5. Un violín da la nota en la con una frecuencia de 440 Hz y un piano da la nota en do con una frecuencia de 264 Hz. Calcula la longitud de onda de ambos sonidos (velocidad de la onda sonora = 340 m/s) Sol.: 0,77 m; 1,29 m
6. Los ladridos de un perro tienen una potencia de 1 mW. Si se supone que esta potencia se distribuye uniformemente por toda el área de una semiesfera: a) ¿Cuál es el nivel de intensidad sonora a una distancia de 4 m?; b) ¿Cuál sería este nivel si ladrasen a la vez tres perros con la potencia de 1 W? En este caso, ¿por qué factor se ha multiplicado la intensidad del sonido? ¿Por qué factor se ha multiplicado el nivel de intensidad sonora? Sol.: a) 70 dB; b) 74,7 dB; por 3 y por 1,067
7. El nivel medio de intensidad sonora de un aparato de radio es de 45 dB. Si dos aparatos de radio iguales están funcionando al mismo tiempo, ¿cuál es el nivel medio de intensidad sonora? Sol.: 48 dB


Recepción del sonido
Nuestro oído está capacitado para percibir las ondas sonoras






Oído externo. En él, las ondas so­noras son recogidas por el pabellón del oído, pasan por el conducto au­ditivo y llegan al tímpano. Las varia­ciones de presión producen en esta membrana unas oscilaciones forza­das.
Oído medio. En él, las vibraciones del tímpano son percibidas por una cadena de cuatro huesecillos que actúa ampliando las excitaciones que llegan al tímpano. Éstas se transmiten a la ventana oval, de su­perficie mucho menor que el tímpa­no, donde las variaciones de pre­sión de las ondas se multiplican aproximadamente por 50.
El oído medio se mantiene a la mis­ma presión que el exterior, ya que está comunicado con la garganta por la llamada trompa de Eusta­quio.
Oído interno. Contiene un líquido acuoso incompresible que transmi­te las vibraciones que llegan a la ventana oval. Éstas son recogidas por una membrana flexible, llamada membrana basilar, situada a lo lar­go del caracol y que lo divide en dos secciones. Sobre ella se dis­tribuyen las fibras de Corti, que son filamentos terminales del nervio au­ditivo, de los que hay unos 30000 en cada oído.
Los cambios químicos producidos en las células de estas fibras dan lugar a diferencias de potencial pro­ductoras de corrientes que, a través de los nervios transmisores, llegan al cerebro, donde se convierten en sensaciones sonoras.

Contaminación acústica
Hoy en día es muy común hablar de contaminación, término que apli­camos a la acumulación de distintas sustancias nocivas para la salud o para el ambiente.
La sociedad cada vez está más sensibilizada hacia la tarea de evitar­la. Sin embargo, todavía no se actúa enérgicamente contra la denomi­nada contaminación acústica, es decir, la producción de sonidos y ruidos excesivos.
Con la edad disminuye el límite superior de frecuencia audible; así, una persona de mediana edad es sorda para los sonidos de tono más alto y frecuencias superiores a 16.000 Hz. Alrededor de los 70 años ya no se escuchan los sonidos de más de 8.000 Hz, con lo que se ve muy di­ficultada la capacidad de entender las conversaciones.
Este proceso de envejecimiento, con pérdida parcial o total de la audi­ción, especialmente en la zona de altas frecuencias, se produce anti­cipadamente si nos exponemos de forma continuada o frecuente a un nivel de sonoridad superior a los 100 dB.



Ruidos frecuentes


dB


Efectos del ruido



Avión despegando

Reactor en pista


130
120

Umbral del dolor. Una exposición breve a niveles de 140 ó 150dB puede llegar a romper los tímpanos. A partir de 100 dB, el oído puede lesionarse gravemente.


Taller mecánico


100
90



Ruido peligroso. Pérdida parcial de la audición tras una bre­ve exposición. La conversación resulta imposible. Una persona expuesta habitualmente durante su trabajo a niveles de ruido de 90 dB puede experimentar una pérdida permanente de au­dición del 25%.



Comedor escolar

Fotocopiadora




80
80



Ruido molesto. Disminución de la audición. Más del 80% de los españoles soporta sonidos superiores a los 80 dB, lo que supone riesgos psicológicos y fisiológicos: problemas auditivos, cardiovasculares, respiratorios y digestivos.



70
60



Ruido molesto. En las grandes ciudades los pacientes con problemas de audición suelen tener entre 30 y 45 años; en cambio, hasta hace poco, estos problemas aparecían a partir de los 60 años. Las palabras se entienden mal y se ve limitado el uso del teléfono




Conversación tranquila



50



Ruido ligero



Dormitorio

Tranquilo

30



Ruido muy ligero


ACTIVIDADES

Es necesario adquirir una conciencia colectiva para disminuir los ruidos, limitar el volumen acústico de la música, respetar la salud y el descanso...



  1. Formad grupos de trabajo e investigad sobre qué medidas se toman en vuestra localidad para evitar la conta­minación acústica.

  2. Con la información obtenida en el apartado anterior organizad un coloquio que tenga por título: ¿Es suficiente
    la normativa vigente para preservar la salud y el medio de la contaminación acústica?

Normativa respecto al ruido
La Organización Mundial de la Sa­lud (OMS) considera España como el segundo país más ruidoso del mundo, ya que el 70 % de su pobla­ción sufre niveles de ruido superio­res a 65 decibelios (dB).
El Parlamento Europeo aprobó en junio de 2002 la Directiva sobre evaluación y gestión del Ruido Am­biental, que obliga a los Estados miembros a elaborar mapas de rui­do para las poblaciones de más de 250 000 hab. (junio de 2007) y de hasta 100 000 hab. (2012).
En España, el Ministerio de Medio Ambiente y las Comunidades Autó­nomas trabajan para mejorar las normas estatales (la Ley del Ruido de 2003, basada en la Directiva Eu­ropea) y autonómicas



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