Ecuaciones, inecuaciones y sistemas



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  1. ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS



1

Preguntado un padre por la edad de su hijo contesta: “el producto de su edad hace 6 años por el de su edad hace 4 años es mi edad actual que son 48 años. Calcula la edad del hijo.
Solución:

Se plantea la ecuación, “x” es la edad del hijo: (x - 6) · (x - 4) = 48

Operando: x2 - 10x - 24 = 0

Soluciones: x = 12 y x = -1. La solución válida es 12 años.




2

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)
Solución:

a) x = 4 y x = 5; b) x = -1 y x = 7; c) x = 4 y x = 6; d) x = -3 y x = 3




3

Preguntado un padre por la edad de sus tres hijos contesta: mis hijos se llevan cada uno un año con el siguiente, si sumamos sus edades se obtienen 9 años más que si sumamos las edades de los dos más pequeños.
Solución:

Se plantea la ecuación: edad del más pequeño “x” entonces x + (x + 1) + (x + 2) = 9 + x + (x + 1)

Operando: x = 7 años, x + 1 = 8 años y x + 2 = 9 años.


4

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 10(20 - x) = 8(2x - 1)

b)

c)

d)
Solución:

a) x = 8


b) Multiplicando por 12 queda: 6x - 84 - 9x + 10x = 84; x = 24

c) Multiplicando por 20 queda: 30x - 50 - 16x = 3x - 5; x = 5

d) Multiplicando por 15 queda: 200 + 70x - 5 - 10x = - 15x + 45; x = - 2


5

En una clase deciden que este verano van a escribir todos una carta al resto de compañeros. El listillo de la clase dice: ¡Los de correos se van a poner contentos porque vamos a escribir 600 cartas!. Calcula el número de alumnos que hay en la clase.
Solución:

Se plantea el problema. Si “x” es el numero de alumnos cada uno de ello escribe (x - 1) cartas por lo que el total de las cartas será la suma de x veces (x - 1).

x(x - 1) = 600

Operando: x2 - x - 600 = 0

Las soluciones son x = - 24 y x = 25, la solución válida es 25 alumnos.


6

Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a)

b)

c)
Solución:

a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:

z2 - 20z + 64 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 16.

Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -4 y x = 4

b) Sacando factor común x y realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:

x·(z2 - 41z + 400) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, z = 16 y z = 25.

Calculando las raíces cuadradas de las soluciones (z) obtenidas queda: x = 0; x = -4; x = 4; x = -5 y x = 5

c) Realizando el cambio de variable: x3 = z queda la ecuación:

z2 - 3z + 2 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 2.

Calculando las raíces cúbicas de las soluciones obtenidas queda x = 1 y x =




7

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a)

b)

c)

d)
Solución:

a) Multiplicando por 42 queda: 84x - 308 - 30x + 6 = 14x - 98 - 20x + 24; x = 19/5

b) Multiplicando por 12 queda: 6x - 84 - 9x + 10x = 84; x = 24

c) Multiplicando por 12 queda: - 6x + 4x + 3x = 6 - 4 + 3; x = 5

d) Multiplicando por 12 queda: 6x - 6 + 8 - 8x = 60; x = - 29


8

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)
Solución:

a) x = 4 y x = 6; b) x = -3 y x = 3; c) x = -1 y x = 1; d) x = 1 y x = 2






1

Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y reducción.

a) b)
Solución:

a) Sustitución:



Reducción



b) Sustitución



Reducción:






2

Resuelve el siguiente sistema no lineal:


Solución:




3

Resuelve los siguientes sistemas no lineales:

a) b)
Solución:

a) x = 1, y = 4 b) x = -5, y = -3; x = -5, y = 3; x = 5, y = -3; x = 5, y = 3




4

Resuelve el siguiente sistema no lineal:


Solución:




5

Partiendo de la ecuación: 2x + y = 9 añade otra que forme con esta un sistema que no tenga solución.
Solución:

Para que el sistema no tenga solución basta con tomar una proporcional a ésta en una de las dos partes de la igualdad:

Ej: 4x + 2y = 15

También se puede tomar como compañera de esta la misma ecuación pero con diferente resultado:

Ej: 2x + y = 7

Resolviéndolas se puede comprobar que se obtienen resultados absurdos como 7 = 9




6

Resuelve el siguiente sistema no lineal:


Solución:

x = -7, y = -4; x = -4, y = -7; x = 4, y = 7; x = 7, y = 4




7

El área de un triángulo rectángulo es 6m2 y su perímetro 12 m. Calcula la longitud de los lados del triángulo.
Solución:

Llamamos x e y a los catetos y escribimos las ecuaciones en función de estos



La segunda ecuación que tiene la forma de una radical la tratamos como tal elevándola al cuadrado:



Tomando x = 4 se tiene y = 3 y viceversa si se toma x = 3 será y = 4, que forman el mismo triángulo.




8

Resuelve los siguientes sistemas aplicando el método que quieras.

a) b)
Solución:

a) x = 3; y = 2 b) x = 1/3; y = 1/2






1

Resuelve la siguiente inecuación ordenadamente, explicando todos los pasos que realizas:


Solución:

Multiplicamos por 12 que es el m.c.m. de los denominadores para que desaparezcan:

-48x + 9 - 6x > 4 - 12x - 37

Se trasponen términos:

-48x - 6x +12x > 4 - 37 - 9

Se opera en cada miembro

-42x > - 42

Se divide por -42 cada miembro y se cambia el sentido de la desigualdad:

x < 1


2

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) b)
Solución:

a) b)




3

Un vendedor de seguros tiene dos opciones de sueldo, debe elegir entre un fijo de 800 Euros más 80 Euros por póliza o cobrar 150 Euros de comisión pura (sin fijo) por póliza. ¿A partir de que cantidad de pólizas es más rentable la opción de comisión pura?
Solución:

Se plantea la inecuación: “x” es el número de pólizas

800 + 80x < 150x; x >11,4

A partir de 12 pólizas es más rentable la comisión pura.




4

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 2(x - 3) > 1 - 3(x - 1)

b) 10(20 - x) < 8(2x - 1)

c) 2(1 - x) - 4 > 2(x + 3)
Solución:

a) x > 2 b) x > 8 c) x > -2




5

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x + 2x + 3x < 5(1 - x) + 6

b) (x - 1) + 2(2x + 3) < 4

c) 6(x - 2) - 7(x - 4) > 6 - 3x
Solución:

a) x < 1 b) x < - 1 c) x > -5




6

La tarifa de telefonía de la empresa A es 20 Euros fijos mensuales más 7 céntimos de euro por minuto de conversación, la de la empresa B es 11 Euros fijos más 12 céntimos por minuto de conversación. ¿A partir de cuantos minutos empieza a ser más rentable la tarifa de la empresa A?
Solución:

Se plantea la inecuación (ponemos los datos en céntimos): “x” es el número de minutos

2000 + 7x < 1100 +12x; x > 18 minutos.


7

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) b)
Solución:

a) b)




8

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x + 2x + 3x > 5(1 - x) + 6

b) - 1(x - 1) + 2(2x + 3) > 4

c) 6(x - 2) - 7(x - 4) < 6 - 3x
Solución:

a) x > 1 b) x > - 1 c) x > -5







1

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)
Solución:

a) Ø b)




2

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)
Solución:

a) b) Ø




3

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)
Solución:

a) b)




4

Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:

a) b)
Solución:

a) b)





5

Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:


Solución:




6

Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:

Solución:






7

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)
Solución:

a) b)




8

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)

Solución:



a) b)



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