Ejercicios de cinemática para hacerlos con hoja de cálculo, o con lápiz y papel y una calculadora (I)



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EJERCICIOS DE CINEMÁTICA PARA HACERLOS CON HOJA DE CÁLCULO, O CON LÁPIZ Y PAPEL Y UNA CALCULADORA (I)
1. Un automovilista marcha a 120 km/h. Hay niebla y ve un camión atravesado en la calzada a 100 m. Si el tiempo de reacción es de 0,6 s y la aceleración de frenado es de 9 m/s2, ¿chocará contra él?

Sol: No, se detendrá a 18,3 m del obstáculo

Solución:

El automovilista realiza dos tipos de movimientos: un m.u. en el que recorre una distancia d1 y un m.u.a. en el que recorre una distancia d2:

Recorrerá 81,6 m hasta detenerse. Como el camión está a 100 m, le sobra una distancia de unos 18 m para no chocar contra el camión.


2. Desde una torre, a 20 m de altura del suelo, se deja caer un lápiz. Al mismo tiempo, desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba una tiza con una rapidez inicial de 10 m/s. Calcula:

a) El instante y la posición a la que se encuentran con respecto al suelo.

b) Las rapideces de ambos objetos en ese instante.

c) La gráficas e/t para ambos objetos durante los primeros 2,5 s.

Nota: S.R suelo, y hacia arriba valores positivos de la posición. Sol: a) 2 s; 0,4 m b) -19,6 m/s; -9,6 m/s
Solución:

a) Tanto el lápiz (A) como la tiza (b) realizan un m.u.a. Según el S.R. y el criterio de signos establecidos en el enunciado, las ecuaciones e/t y v/t son las siguientes:




Lápiz:

Tiza




Cuando se encuentran eA=eB. Por tanto:



La posición en la que se encuentran, e, es:



b) Las rapideces para t=2 s son:



Dado que las rapideces son negativas, los dos cuerpos se encuentran cuando están bajando.

c) Ver gráfica realizando el problema en la hoja de cálculo.
3. Desde una ventana situada a 20 m de altura, un muchacho lanza verticalmente hacia abajo una pelota con una rapidez inicial de 4 m/s para que la recoja su amigo que está en la calle. Calcula:

b) El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.

a) La rapidez la pelota cuando llega al suelo.

Nota: S.R suelo, y hacia arriba valores positivos de la posición. Sol: a) 1,65 s b) -20,2 m/s

Solución:

a) La pelota realizan un m.u.a. Según el S.R. y el criterio de signos establecidos en el enunciado, las ecuaciones e/t y v/t son las siguientes:

Cuando la pelota llega al suelo, se encuentran e=0. Por tanto:



La solución con sentido físico es t=1,65 s.


b) La rapidez para t=1,65 s es:


4. Un tren de mercancías entra en un túnel recto de doble vía de 1 km de longitud con rapidez constante de 43,2 km/h. En ese mismo instante, desde el otro extremo del túnel parte del reposo en sentido contrario un tren de viajeros con aceleración de 1,5 m/s2. Calcula:

b) El instante en que se cruzan.

b) La distancia a la que se encuentran, medida desde el primer extremo del túnel.

Nota: S.R tren de mercancías, y avanza según los valores positivos de la posición. Sol: a) 29,4 s b) 353 m
Solución:

a) El tren de mercancías (A) realiza un m.u. mientras que el tren de viajeros (B) realiza un m.u.a. Según el S.R. y el criterio de signos establecidos en el enunciado, las ecuaciones e/t y v/t son las siguientes:




Tren de mercancías:

Tren de viajeros




Cuando se encuentran eA=eB. Por tanto:



b) La posición en la que se encuentran, e, es:



Que coincide con la distancia a la que se encuentran del primer extremo del túnel, origen del S.R.


5. Un globo de aire caliente viaja verticalmente hacia arriba con una rapidez constante de 5 m/s. Cuando está a 21 m sobre el suelo suelta un paquete desde el globo. Calcula:

a) La altura máxima que alcanza el paquete y tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura.

b) Tiempo que tarda en llegar al suelo y su rapidez.

Nota: S.R suelo, y hacia arriba valores positivos de la posición. Sol: a) 22,3 m; 0,51 s b) 2,64 s; -20,9 m/s
Solución:

a) El paquete realizan un m.u.a (asciende primero hasta alcanzar una altura máxima debido a que tiene una rapidez inicial hacia arriba, la del globo, y después baja). Según el S.R. y el criterio de signos establecidos en el enunciado, las ecuaciones e/t y v/t son las siguientes:



Cuando el paquete alcance la altura máxima v=0. Por tanto:



La solución es t=0,51 s.


La posición para t=0,51 s es:

b) Cuando el paquete llega al suelo, se encuentran en la posición e=0. Por tanto:



La solución con sentido físico es t=2,64 s.


La rapidez para t=2,64 s es:


6. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 8 m/s desde una altura de 20 m.

a) La altura máxima que alcanza y tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura.

b) Tiempo que tarda en llegar al suelo y su rapidez.

Nota: S.R suelo, y hacia arriba valores positivos de la posición. Sol: a) 23,3 m; 0,82 s b) 3 s; -21,4 m/s

Solución:

a) La pelota realizan un m.u.a (asciende primero hasta alcanzar una altura máxima debido a que tiene una rapidez inicial hacia arriba y después baja). Según el S.R. y el criterio de signos establecidos en el enunciado, las ecuaciones e/t y v/t son las siguientes:

Cuando la pelota alcance la altura máxima v=0. Por tanto:



La solución es t=0,82 s.

La posición para t=0,51 s es:

b) Cuando la pelota llega al suelo, se encuentra en la posición e=0. Por tanto:



La solución con sentido físico es t=2,64 s.


b) La rapidez para t=3 s es:



7. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 10 m/s. Un segundo más tarde se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez de 25 m/s. Determina:

a) El tiempo que tarda la piedra en alcanzar la misma altura que la pelota y la posición de ambas.

b) La rapidez de la pelota y la de la piedra cuando se encuentran a la misma altura.

Nota: S.R suelo, y hacia arriba valores positivos de la posición. Sol: a) 1,2 s; 4,9 m b) -1,8 m/s; 23 m/s

Solución:

a) Tanto la pelota (A) como la piedra (B) realizan un m.u.a. Según el S.R. y el criterio de signos establecidos en el enunciado, las ecuaciones e/t y v/t son las siguientes:


Lápiz:

Tiza




Cuando se encuentran eA=eB. Por tanto:



Quitamos paréntesis y desarrollamos el cuadrado de la diferencia:



Simplificamos y resolvemos la ecuación la ecuación:



La posición en la que se encuentran, e, es:



b) Las rapideces para t=1,2 s son:



Visto el signo de las rapideces, deducimos que cuando se cruzan, la pelota está bajando mientras que la piedra todavía está subiendo.


8. Un coche de policía que se encuentra parado, acelera a razón de 3 m/s cada segundo, justo 2 s después del instante en que pasa por delante de él un coche que, incumpliendo la limitación de velocidad, marcha con una rapidez constante de 35 m/s. Calcula:

a) El instante en que el coche de policía alcanza al coche infractor.

b) La distancia recorrida por el coche infractor desde el punto en el que arrancó el policía hasta que es alcanzado por éste.

Nota: S.R coche policía, y avanza según los valores positivos de la posición. Sol: a) 25,2 s b) 882 m
Solución:

a) El coche infractor (A) realiza un m.u. mientras que el coche de policía (B) realiza un m.u.a. Según el S.R. y el criterio de signos establecidos en el enunciado, las ecuaciones e/t son las siguientes:




Coche infractor:

Coche de policía





Cuando se encuentran eA=eB. Por tanto:

b) La posición en la que se encuentran, e, es:



Que coincide con la distancia a la que se encuentran del origen del S.R.



EJERCICIOS DE CINEMÁTICA PARA HACERLOS CON HOJA DE CÁLCULO, O CON LÁPIZ Y PAPEL Y UNA CALCULADORA (II)
9. Se coloca un estudiante en el borde de un acantilado recto y lanza una piedra horizontalmente sobre el borde con una rapidez de 18 m/s. El acantilado está a 50 m de atura respecto a la playa plana y horizontal. Calcula:

a) El tiempo que tardará en golpear la playa bajo el acantilado ¿A qué distancia golpeará medida desde la base del acantilado?

b) El módulo de la velocidad con que golpeará en la playa.
a) La piedra está sometido a dos movimientos elementales, uno horizontal (m.u) y otro vertical (m.u.a).

Elegimos el origen de S.R. en el suelo; y tomamos hacia arriba los valores positivos del eje Y, y hacia la derecha (hacia donde se lanza) los valores positivos del eje X.



Ecuaciones de la posición:

Movimiento horizontal:



Movimiento vertical:





Ecuaciones de la velocidad:

Movimiento horizontal:



Movimiento vertical:



Cuando llegue al suelo, y= 0 m, que ocurrirá a los:



Y alcanzará la distancia máxima desde la base del acantilado:



b) El módulo de la velocidad con que golpeará en la playa es:



10. Durante la I Guerra Mundial, los alemanes tenían un cañón llamado Big Bertha que usó para bombardear París. Si la rapidez inicial de la bala era de 1700 m/s y la inclinación del cañón con la horizontal era de 55º, calcula:

a) Calcula la altura máxima que alcanzó, el tiempo que estuvo en el aire y la distancia a la que llegó.

b) Comprueba que la rapidez con que golpea el suelo es la misma que con la que es disparada.
a) La bala está sometida a dos movimientos elementales, uno horizontal (m.u) y otro vertical (m.u.a).

Elegimos el origen de S.R. en el suelo, desde donde está el cañón; y tomamos hacia arriba los valores positivos del eje Y, y hacia la derecha (hacia donde se lanza) los valores positivos del eje X.



Ecuaciones de la posición:

Movimiento horizontal:



Movimiento vertical:





Ecuaciones de la velocidad:

Movimiento horizontal:



Movimiento vertical:



Calculamos la altura máxima:

Cuando la bala alcance su altura máxima vy=0, que ocurrirá a los:

Y su altura en ese instante es:



Calculamos el tiempo que estuvo en el aire, que es el tiempo que tarda en llegar al suelo:

Cuando la bala llegue al suelo y=0, que ocurrirá a los:

Y la distancia horizontal que habrá recorrido coincidirá con la xmax:




b) El módulo de la velocidad con que golpeará en la playa es:


11. Un tenista realiza un saque sobre el jugador contrario. La pelota sale horizontalmente desde una cierta altura, de 2,45 m. Para rapidez inicial de 22 m/s, calcula:

a) Si la pelota pasa por encima de la red, que se encuentra a 11,9 m.

b) Si la pelota pasa por encima de la red, ¿botará dentro del área de saque del contrario, limitada por la línea que se encuentra a 6,4 m de la red?

Dato: La red tiene un metro de altura.
a) La pelota está sometido a dos movimientos elementales, uno horizontal (m.u) y otro vertical (m.u.a).

Elegimos el origen de S.R. en el suelo; y tomamos hacia arriba los valores positivos del eje Y, y hacia la derecha (hacia donde se lanza) los valores positivos del eje X.



Ecuaciones de la posición:

Movimiento horizontal:



Movimiento vertical:



Cuando la pelota llegue a la posición en la que se encuentra la red, x=11,9 m, que ocurrirá a los:



Y la altura que alcanzará la pelota será:





Como la red tiene un metro de altura, pasará la pelota por 2 cm.
b) Cuando llegue la pelota al suelo y=0, que ocurrirá a los:

Y la distancia horizontal que habrá recorrido coincidirá con la xmax:



Como la posición de la línea de saque está a (11,9+6,4) m=18,3 m, la pelota entrará dentro del área de saque del contrario, a 3,7 m detrás de la red.


12. Un futbolista lanza una falta directa sobre una portería, de 2,4 m de altura, que se encuentra a 41 m de distancia, delante de la cual, a los reglamentarios 9 m, hay una barrera de jugadores de 1,80 m de altura. Calcula, para una rapidez inicial de 30 m/s y un ángulo de 15º con la horizontal:

a) Si golpeará la pelota en la barrera o pasará por encima.

b) Suponiendo que pasa por encima de la barrera, ¿pasará pasa por debajo del larguero?

a) La pelota está sometida a dos movimientos elementales, uno horizontal (m.u) y otro vertical (m.u.a).

Elegimos el origen de S.R. en el suelo, desde donde lanza el jugador; y tomamos hacia arriba los valores positivos del eje Y, y hacia la derecha (hacia donde se lanza) los valores positivos del eje X.

Ecuaciones de la posición:

Movimiento horizontal:



Movimiento vertical:



Cuando la pelota llegue a la posición en la que se encuentra la barrera, x=9 m, que ocurrirá a los:



Y la altura que alcanzará la pelota será:



Como la barrera tiene un 1,8 m de altura, pasará la pelota por encima.


b) Cuando la pelota llegue a la posición en la que se encuentra la portería, x=41 m, que ocurrirá a los:

Y la altura que alcanzará la pelota será:



Como la portería tiene 2,4 m de altura, entrará dentro de la portería si el portero no la detiene.


13. Justo en el instante que un paquete de provisiones cae desde una avioneta que vuela a 500 m de altura con una rapidez de 90 m/s, una camioneta que se encuentra a 1200 m de ella y se mueve con movimiento uniforme, se dirige por una carretera hacia ella. Calcula:

a) La rapidez que debe llevar la camioneta para que las provisiones caigan sobre ella.

b) La posición en la que la camioneta recibe el paquete. En el instante en que la camioneta recibe el paquete, ¿dónde se encontrará la avioneta?
a) El paquete que cae desde la avioneta está sometido a dos movimientos elementales, uno horizontal (m.u) y otro vertical (m.u.a).

Por otra parte, la camioneta efectúa un m.u.

Elegimos el origen de S.R. en el suelo, en el punto sobre el que se encuentra en el instante inicial la avioneta; y tomamos hacia arriba los valores positivos del eje Y, y hacia la derecha (hacia donde se desplaza la avioneta) los valores positivos del eje X.

Ecuaciones de la posición del paquete (p), cuya rapidez horizontal es la misma que la avioneta:

Movimiento horizontal:



Movimiento vertical:




Ecuación de la posición de la camioneta (c):

Movimiento horizontal (único que tiene):



Posición de la camioneta:

Cuando el paquete llegue al suelo y alcance la camioneta, y=0, que ocurrirá a los:

Y la distancia horizontal que habrá recorrido el paquete coincidirá con la xmax:





Que coincide con la posición de la camioneta.
Como la rapidez horizontal del paquete es la misma que la avioneta, en el momento de caer el paquete en la camioneta, la avioneta estará justo encima.
b) Para calcular la rapidez que debe llevar la camioneta, tenemos que tener en cuenta que a los 10,1 s su posición es 909 m. Si sustituimos estos datos en la ecuación de la posición de la camioneta, obtenemos el valor de la rapidez que debe llevar:

Despejamos y calculamos vc:



El signo negativo de la rapidez de la camioneta es debido a que se dirige en el sentido de los valores negativos de la posición.


14. Un bombero intenta apagar un fuego que hay en el tercer piso de una vivienda. Debe introducir el chorro de agua justamente a una altura de 10 m (centro de la ventana) sobre el suelo. Si la boca de la manguera está situada a una altura de un metro y se encuentra a 15 m de la base del edificio, determina:

a) El tiempo que tarda el chorro de agua en alcanzar la ventana.

b) La rapidez inicial del chorro si el ángulo que forma la manguera con la horizontal es de 35º.

a) El chorro de agua está sometido a dos movimientos elementales, uno horizontal (m.u) y otro vertical (m.u.a).

Elegimos el origen de S.R. en el suelo, desde donde lanza el agua el bombero; y tomamos hacia arriba los valores positivos del eje Y, y hacia la derecha (hacia donde se lanza) los valores positivos del eje X.

Ecuaciones de la posición:

Movimiento horizontal:

Movimiento vertical:



Las coordenadas del centro de la ventana son: (15; 10) m. Cuando el chorro de agua entre por la ventana, se cumplirá que:



(1)

Despejamos de (2):



(3)

Dividimos miembro a miembro la ecuación (3), simplificada, entre la ecuación (1):



(4)

Como:


(4) la podemos expresar así:



Operamos y obtenemos la ecuación de segundo grado:



Una de las soluciones de t, la positiva, es:

b) Si sustituimos ese valor de t en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2), obtenemos el valor de v0. Si escogemos la ecuación (1):

Despejamos y calculamos su valor:





Problema: Un jugador de baloncesto lanza el balón desde una altura de 2,50 m con una elevación de 37º y encesta en la canasta situada a 6,25 m de distancia y 3,05 m de altura. Calcula la rapidez con que se lanzó el balón.
El balón está sometido a dos movimientos elementales, uno horizontal (m.u) y otro vertical (m.u.a).

Elegimos el origen de S.R. en el suelo, desde donde lanza el jugador; y tomamos hacia arriba los valores positivos del eje Y, y hacia la derecha (hacia donde se lanza) los valores positivos del eje X.

Ecuaciones de la posición:

Movimiento horizontal:



Movimiento vertical:



Las coordenadas de la canasta son: (6,25; 3,05) m. Cuando el jugador enceste, se cumplirá que:



(1)

Despejamos de (2):



(3)

Dividimos miembro a miembro la ecuación (3) entre la ecuación (1):



(4)

Como:


(4) la podemos expresar así:



Operamos y obtenemos la ecuación de segundo grado:



Una de las soluciones de t, la positiva, es: t= 0,92 s.

Si sustituimos ese valor de t en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2), obtenemos el valor de v0. Si escogemos la ecuación (1):

Despejamos y calculamos su valor:



11. Un indio dispara un dardo a un mono con una cerbatana. El dardo sale con una rapidez de 20 m/s justo en el instante en que el mono, que está situado a una altura de 20 m, se deja caer. Si la cerbatana del indio está a una altura sobre el suelo de 1,5 m y el indio está situado a 25 m del mono, determina:

a) El tiempo que tarda el dardo en alcanzar al mono y el ángulo que forma la cerbatana con la horizontal.

b) Las coordenadas del punto en el que el dardo alcanza al mono.






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