Funciones cuadráticas La forma general de una función cuadrática es



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Funciones cuadráticas

La forma general de una función cuadrática es .


El dominio de las funciones cuadráticas es el conjunto de todos los reales , y el contradominio es el subconjunto de los reales que va desde el vértice hasta mas infinito o menos infinito, dependiendo de que la parábola abra hacia arriba o hacia abajo.

El exponente más grande es 2. La representación gráfica de estas funciones, es una curva denominada parábola ( de la familia de las cónicas ), que tienen alguna de las siguientes formas:


El valor de la constante a ( el coeficiente de x2 ) es el que determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo. Cuando a > 0 , la parábola abre hacia arriba. Sin embargo, si a < 0, la parábola abre hacia abajo.


Estas gráficas tienen un punto máximo o mínimo dependiendo de si abren hacia abajo o hacia arriba, respectivamente. Este punto recibe el nombre de vértice. La coordenada x del vértice está dada por la siguiente expresión, que se justifica mas adelante:


Y la coordenada y se puede obtener sustituyendo en la función misma.

Ejemplo 1.

Sea .

Una representación tabular de esta función es la siguiente:


x

f(x)

-1

-8

0

-3

1

0

2

1

3

0

4

-3

5

-8

En este caso las constantes son: a = -1, b = 4, c = -3. Esta parábola abre hacia abajo dado que ; su vértice es el punto máximo, cuya coordenada x es:



En la representación tabular vemos que a este valor de x le corresponde

Por lo que el vértice de la parábola es el punto ( 2, 1 ).
Al igual que en la recta, el término independiente indica el punto donde la parábola intersecta al eje y. En esta función es el punto (0,-3).
La representación gráfica de esta función, obtenida de la tabla es:

El dominio de esta función es y el contradominio es .


Como se puede ver en la figura, esta parábola cruza el eje x en dos puntos, esto es, tiene dos raíces. Al igual que con la función lineal, para encontrar las raíces se resuelve la ecuación :

A diferencia de las funciones lineales, no se puede despejar directamente; por lo tanto, se factoriza cuando es posible, o se utiliza la fórmula general comúnmente llamada chicharronera:



En este caso:

Las raíces son x = 1 y x = 3 . Note que , conocido como discriminante, en este caso es positivo.



Ejemplo 2.
Sea la función , hallar sus raíces.

Hay por lo menos tres alternativas para obtener las raíces:


En un primer caso, se puede factorizar como . Para encontrar las raíces se iguala a cero




lo que se cumple sólo cuando x = 4 y x = -4.
Como en esta función la constante b = 0 , una segunda opción es despejar:

Finalmente, siempre se puede recurrir a la fórmula general:
.

Ejemplo 3.
Sea . Encontrar sus raíces y graficar.

Observe que es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la función se puede escribir .


Para encontrar las raíces igualamos a cero y resolvemos:

Esto se cumple sólo cuando . Existe una sola raíz, que se repite; se dice que es una raíz de multiplicidad 2.
Si calculamos el discriminante , notamos que, en este caso es igual a cero.
Las coordenadas del vértice de la parábola son:



para trazar la gráfica se necesitan al menos dos puntos mas:


x

f(x)

-4

1

-2

1



El dominio de esta función es y el contradominio es .

Ejemplo 4.

Sea la función , hallar las raíces y graficar.


Despejando directamente:


Se obtienen dos raíces imaginarias.
Si calculamos el discriminante , notamos que, en este caso es negativo.

Las coordenadas del vértice son:




la parábola abre hacia abajo, y dado que el vértice V( 0, -4 ) está abajo del eje x, la gráfica no cruza este eje.

Observe que, en este caso, la intersección con el eje y coincide con el vértice.


Ejemplo 5.
Sea . Hallar las raíces.

Después de igualar a cero se puede despejar directamente



Recuerde que es un número irracional.

Las coordenadas del vértice son:




Con estos tres puntos se puede trazar la gráfica.

RESUMEN







Función constante

Función lineal

Función cuadrática

Forma general







Mayor exponente de la x

0

1

2

Número de veces que cruza el eje x (raíces)

0

1, si



Número de veces que cruza el eje y : ordenada al origen

1

1

1

Esto es requisito para que sea función. Si para un mismo valor de x hay más de un valor de f(x), entonces, no es una función.

Características generales de la gráfica

es una línea horizontal

es creciente cuando y

decreciente cuando



abre hacia arriba cuando y hacia abajo cuando


Como se puede observar en la tabla anterior, el número de raíces es igual al exponente máximo de la x.
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