Geometria jugando al billar



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GEOMETRIA JUGANDO AL BILLAR




"Carlos y D. Juan, su profesor de matemáticas, están jugando al billar. Al poco tiempo Carlos le pregunta a D. Juan: ¿Qué recorrido tendrá que hacer la bola A para dar a la bola B después de tocar en dos bandas?"

(Problema extraído del libro "Matemáticas-Algoritmo 3" Vizmanos-Anzola Ed.SM 3ºBUP)





Una de las reglas básicas en la resolución de problemas consiste en empezar por lo más fácil: estudiaremos primero como conseguirlo a "una" banda (la inferior)

Veamos ahora como obtener la solución, tanto gráficamente como analíticamente.

1.- Representa en tu cuaderno la mesa de billar y las bolas.

  • las dimensiones del rectángulo son 28 x 14 "unidades".

  • el punto A está a 7 u. de la banda izquierda y a 2 u. de la banda inferior.

  • el punto B está a 22 u. de la banda izquierda y a 5 u. de la banda inferior.



El punto R será aquel que verifica que la suma de distancias a A y B es mínima.

Si no hubiera banda inferior, la bola seguiría hasta el punto B' (simétrico del B respecto de esa banda), y

d(A,R)+ d(R,B) = d(A,R) + d(R,B') = d(A',R)+d(R,B)

que será mínima cuando A, R y B' estén alineados (en cuyo caso también lo estarán A', R y B).

a) Representa el punto B'.

b) Representa el segmento AB'.

c) R es la intersección del segmento AB' con la banda inferior.





ANALÍTICAMENTE

Fijamos un sistema de referencia con el origen en el extremo inferior izquierdo, tomando como eje de abscisas la banda inferior y como eje de ordenadas la banda izquierda. De esta forma las coordenadas del punto A serán (7,2), las de B(22,5) y las de B'(22,-5).



2.- a) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por A y B'.

     b) Halla la intersección de la recta anterior con el eje de abscisas.



Sol: R = "7x+15y=79" "y=0" = (79/7,0) (11'286,0)



 

Afrontemos ahora el problema inicial con dos bandas (considerando que el primer rebote se produce en la inferior).

Con un razonamiento análogo al anterior se pueden obtener dos soluciones:



3.- Gráficamente:



  • Una solución la obtendrás como intersección de la banda inferior con el segmento A'B''' (A' es el simétrico de A respecto de la banda inferior y B''' el simétrico de B respecto de la banda superior).

  • La otra se obtiene como intersección de la banda inferior con el segmento A'B'' (B'' es el simétrico de B respecto de la banda derecha).

a) Halla la ecuación de la recta que pasa por A' y B'''.
Sol: 5x-3y=41

b) Halla la ecuación de la recta que pasa por A' y B''.


Sol: 7x-27y=103

c) Halla las intersecciones con el eje de abscisas de las rectas anteriores.


Sol: R1=(41/5,0)=(8'2,0); R2=(103/7,0)(14'71,0)






TRES BANDAS

"Ahora es D. Juan quien le dice a Carlos: ¿Y si queremos que la bola A dé a la bola B después de tocar en tres bandas? ¿Cuál sería el recorrido?"







1.- La primera solución la obtendremos con un rebote: "abajo-arriba-abajo".

Obtenemos los puntos simétricos de A y B respecto de la banda inferior: A' y B'; y el punto simétrico de A' respecto de la banda superior: B'''. La solución será la intersección con la banda inferior de la recta que une A' y B'''.



Sol: R = "35x-15y=275" "y=0" = (55/7,0) (7'857,0)

2.- Otra solución: rebote "abajo-arriba-derecha".





Sol: R = "25x+27y=229" "y=0" = (229/25,0) (9'16,0)

3.- Otra posibilidad: rebote "abajo-derecha-arriba".





Aquí: B' es el simétrico de B respecto de la banda superior y B" su simétrico respecto de la banda derecha.

R = intersección de la banda inferior con la recta que une A' y B".



Pero con los datos de nuestro ejemplo, el punto B" coincide con el del caso anterior y esta solución no es posible ya que la bola rebotaría antes en la banda superior que en la derecha.



4.- ¿La última?: rebote "abajo-derecha-izquierda".

A' = simétrico de A respecto de la banda inferior;


B' = simétrico de B respecto de la banda izquierda;
B" =simétrico de B" respecto de la banda derecha.
R = intersección de la banda inferior con la recta que une A' y B".

Sol: R = "7x+71y=191" "y=0" = (191/7,0) (27'28,0)

5.- ¿Y "abajo-izquierda-arriba"?





 



CUATRO BANDAS

"Ahora es D. Juan quien le dice a Carlos: ¿Y si queremos que la bola A dé a la bola B después de tocar en tres bandas? ¿Cuál sería el recorrido?"









¿En qué dirección tendrás que lanzar la bola para que, después de tocar las cuatro bandas del billar, vuelva al mismo punto?

Trazamos las simetrías correspondientes para obtener los siguientes puntos:

A' = simétrico de A respecto de la banda inferior

A'' = simétrico de A' respecto de la banda derecha

A''' = simétrico de A'' respecto de la banda superior

A'''' = simétrico de A''' respecto de la banda izquierda

R = intersección de la banda inferior con la recta que pasa por A y A''''



Sol: R = "x+2y=11" "y=0" = (11,0)





En ese caso, ¿cuál será la longitud del camino recorrido por la bola?

El camino recorrido por la bola viene determinado por la longitud del segmento AA'''' y como los triángulos HAA'''' y DCE son semejantes:




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