Introducción: Una serie de tiempo o serie temporal es una colección de observaciones tomadas a lo largo del tiempo. Las observaciones están ordenadas respecto al tiempo y sucesivas observaciones son generalmente dependientes



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Modelos de Series Temporales

María Cruz Valsero Blanco

Departamento de Estadística e Investigación Operativa

Universidad de Valladoli

Introducción:
Una serie de tiempo o serie temporal es una colección de observaciones tomadas a lo largo del tiempo. Las observaciones están ordenadas respecto al tiempo y sucesivas observaciones son generalmente dependientes. De hecho esta dependencia entre las observaciones jugará un papel importante en el análisis de la serie.

DenotaremosXt, a la observación en el instante t.

Las series aparecen en diversos campos.


Economía

Precios de venta en días sucesivos.

Exportaciones totales en sucesivos años.

Beneficios de una empresa en sucesivos años




Física (Meteorología, Geofísica, etc...)

Lluvias en sucesivos días.

Temperatura en sucesivas horas.

Presión atmosférica en diversos días.



Demografía

Población de España medida anualmente.


Procesos de control

El problema consiste en detectar cambios en la ejecución de un proceso de manufactura. Para ello se considera una variable que nos muestra la calidad del proceso. Esta medida se representa frente al tiempo y cuando se aleja de un determinado valor límite, entonces hemos de efectuar las correcciones oportunas sobre el proceso.


Procesos binarios

Son unas series temporales especiales, en las que las observaciones, sólo toman dos valores (que usualmente se representan por 0 y 1), suelen darse en teoría de la comunicación. Por ejemplo la posición de un enchufe, bien apagado o encendido puede ser represetado como 0 y 1, respectivamente.



Clasificación

Clasificamos las series atendiendo a distintos puntos de vista.

Según la recogida de los datos tenemos:
Continua.

Una serie de tiempo es continua cuando las observaciones son tomadas continuamente en el tiempo, aun cuando la variable medida sólo tome un número de valores finitos.


Discreta.

Una serie temporal es discreta cuando las observaciones son tomadas en tiempos específicos, normalmente igualmente espaciados. Éstas serán las que nosotros estudiaremos; se supondrán los datos en intervalos regulares de tiempo (horas, días, meses, años,..). El término discreto es usado aun cuando la variable medida sea continua. Las series discretas pueden surgir de varias maneras:


Muestral.

Dada una serie de tipo continua es posible construir una serie de tipo discreta, tomando los valores en intervalos de tiempo de igual longitud. Un ejemplo de serie temporal de tipo continua es la temperatura en un lugar dado, considerando la temperatura diaria a las tres de la tarde, obtenemos una serie temporal discreta muestral.


Agregada o acumulada.

Este tipo de series ocurre cuando una variable no tiene valor en un instante (sólo tiene sentido en algunos instantes de tiempo) pero podemos acumular los valores en intervalos de tiempo igualmente espaciados. Ejemplos: las lluvias torrenciales, los accidentes de tráfico mensualmente, el número de pasajeros mensuales en las líneas aéreas españolas. De hecho los accidentes de tráfico mensuales son una agregación de sucesos discretos. Los valores tomados no se observan en cada instante sino que se vanacumulando en intervalos de tiempo.


Inherentes o discretas

Las que realmente los datos se obtienen en momentos discretos. Por ejemplo el salario mensual.


Teniendo en cuenta el número de variables que observamos en cada tiempo.



Series temporales univariantes

Cuando interviene una sola variable.



Series temporales multivariantes

Cuando intervienen varias variables.


El primer paso a llevar a cabo en cualquier análisis de una serie de tiempo es realizar la representación gráfica de la serie. En el eje horizontal se representa la escala del tiempo, y en el eje vertical, los valores asignados a los tiempos. Es habitual observar que los datos aparentemente fluctúan a lo largo del tiempo en torno a algún patrón.

Desde un punto de vista formal, este hecho responde al concepto de proceso estocástico, concepto matemático que hay subyacente en una serie temporal.

La representación gráfica de una serie de tiempo es la representación de una trayectoria del proceso estocástico subyacente. En dicha representación, podemos observar las principales fuentes de variación.

Descomposición Clásica

Tradicionalmente se establecen cuatro tipos de variaciones: tendencia, efecto estacional, cambios cíclicos y otras variaciones que podemos llamar irregulares.




Efecto estacional:

Muchas series temporales tales como por ejemplo: cifras de ventas, lecturas de temperatura, etc..., presentan una variación que se va repitiendo a lo largo de la trayectoria. Este tipo de variación, con periodicidad,en general, menor o igual a un año, se conoce con el nombre de estacionalidad. Esta componente es debida al entorno en el que se recogen los datos, ya que la mayoria de procesos varian según la estación del año (navidad, verano etc) o el día de la semana, horario diurno o nocturno etc. Es fácil de comprender y se puede calcular, eliminar o modelar.


Cambios cíclicos:

Además de los efectos estacionales algunas series presentan variaciones sin período fijo, debido a algunas otras causas físicas. Un ejemplo es la variación diaria de la temperatura. También se definen ciclos a las variaciones superiores a un año, debidas generalmente a las fluctuaciones de la actividad económica y social. Muchas veces los datos económicos quedan afectados por ciclos de negocios variando entre 5 y 7 años. En Economía se suelen distinguir tres tipos de ciclos en cuánto a su periodicidad: los cortos o de Kintchine que tienen lugar más o menos cada tres años, los medios o de Jutglar cuyo período oscila entre cinco y diez años y los largos o de Kondratiev que aparecen cada cuarenta o cincuenta años. El análisis de esta componente es díficil pues la duración de los ciclos puede no ser constante, razón por la cual cualquier variación puede dar lugar a una predicción errónea.

Otros ciclos son debidos al propio modelo que rige el proceso en estudio.
Tendencia:

Debe recoger el movimiento de la serie a lo largo del tiempo, se puede definir por tanto como la variación a largo plazo, pero hemos de precisar lo que entendemos por a largo plazo. Hay, por ejemplo, series de tiempo que presentan variaciones cíclicas, en un período de 50 años o más, entonces si disponemos de pocos datos se puede confundir las variaciones cíclicas con la tendencia, sin embargo si disponemos de datos suficientes esta confusión no se dará. Así pues al hablar de tendencia hay que tener en cuenta el número de observaciones de las que se dispone.


Otras variaciones irregulares:

Una vez que la tendencia-ciclo y estacionalidad han sido analizados y eliminadas de nuestros datos, nos quedamos con una serie de residuos, que pueden ser o no aleatorios.



Veremos varias técnicas, para el análisis de series de este tipo, con el objeto de ver si algunas de las variaciones aparentemente irregulares, pueden ser explicadas en término de
modelos probabilísticos, tales como los modelos ARIMA que introduciremos más adelante.

EJEMPLO: Número de desempleados mensuales en USA de enero de 1948 a diciembre de 1978. (En unidades de 100.000)





Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiem

Octubr

Noviem

Diciem

1948

235.1

280.7

264.6

240.7

201.4

240.8

241.1

223.8

206.1

174.7

203.3

220.5

1949

299.5

347.4

338.3

327.7

351.6

396.6

438.8

395.6

363.5

378.8

357

369

1950

464.8

479.1

431.3

366.5

326.3

355.1

331.6

261.3

249

205.5

235.6

240.9

1951

264.9

253.8

232.3

193.8

177

213.2

207.2

180.6

188.6

175.4

199

179.6

1952

225.8

234

200.2

183.6

178.2

203.2

208.5

191.8

172.8

148

159.4

154.5

1953

213.2

196.4

182.8

176.4

153.6

173.2

171

151.2

161.9

157.2

201.7

236.4

1954

356.1

398.3

403.7

384.6

365.8

368.1

367.9

347

343.3

292.9

311.5

300.9

1955

366.9

356.9

329.7

316.2

269

289.3

266.2

253.6

233.8

228.4

253.6

260.1

1956

306.6

309.2

309.5

271

279.9

317.9

298.4

246.7

227.3

209.1

259.9

266

1957

320.6

308.5

282.2

262.7

263.5

313.1

284.3

252.6

250.3

246.5

312.7

333.2

1958

446.4

511.6

515.5

506.4

483.2

522.3

509.8

460.7

405.8

375

378.5

406.8

1959

467.8

469.8

429.8

355.8

332.7

378

360.5

334.7

319.5

323.1

363.6

352.1

1960

411.9

388.6

416.4

360.7

338

417.2

388.4

371.1

331.5

353.7

396.7

447

1961

533.5

565.4

542.3

488.7

467.1

531.3

496.1

444

403.4

386.3

394.1

404.1

1962

462.1

448.1

432.3

386.3

395.2

421.9

382.9

384.2

345.5

323.4

372.6

376

1963

462.7

487

444.2

399.3

394.9

455.4

414

375.5

347

339.4

385.8

378.8

1964

451.8

446.1

422.5

383.1

352.8

445.3

367.5

355.1

326.2

319.8

331.8

340.9

1965

394.1

417.2

369.9

349.2

321.4

405.7

342.9

316.5

284.2

270.9

288.8

278.8

1966

324.4

310.9

299

273

279.3

359.2

305

282.1

250.3

246.5

257.9

266.5

1967

315.9

318.4

295.4

266.4

245.8

362.8

324.9

294.2

289.5

295.2

290.3

272

1968

307.4

328.7

292.9

249.1

230.4

361.5

321.7

277.2

260.7

251

257.6

241.8

1969

287.5

292.3

274.7

254.2

230

339

318.2

287

295.8

284

271

262.7

1970

340.6

379.4

373.3

355.2

338.4

466.9

451

422

429.2

425.9

460.7

463.6

1971

541.4

544.2

517.5

469.4

439.4

549

533

506.1

484

457

481.5

469.5

1972

544.7

541.2

521.5

469.7

434.4

542.6

517.3

485.7

465.8

447

426.6

411.6

1973

467.5

484.5

451.2

417.4

379.9

484.7

455

420.8

416.5

376.3

405.6

405.8

1974

500.8

514

475.5

430.1

414.4

538

526

488.5

520.2

504.4

568.5

610.6

1975

818

830.9

835.9

782

762.3

856.9

820.9

769.6

752.2

724.4

723.1

719.5

1976

817.4

803.3

752.5

689

630.4

765.5

757.7

732.2

702.6

683.3

709.5

702.2

1977

784.8

810.9

755.6

656.8

615.1

745.3

694.1

675.7

643.7

622.1

634.6

588

1978

689.7

673.9

647.9

568.8

545.7

632.6

643.8

593.1

579.7

546

562.9

572.5
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