La circunferencia de centro o tiene 5 cm de radio. El triángulo



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La circunferencia de centro O tiene 5 cm de radio. El triángulo ABC tiene 84 cm de perímetro y sus lados son tangentes a la circunferencia de centro O. Los arcos de circunferencia con centro en cada vértice del triángulo tienen 4 cm de radio. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

Solución:


La parte sombreada no es una figura cuya área pueda ser obtenida por medio de una fórmula conocida. ¿Podemos encontrar el área a partir del área de figuras que si conocemos y que están relacionadas con ella?

El área sombreada es igual al área del triángulo menos los sectores del círculo que están en cada vértice. ¿Podemos conocer estas dos áreas?

De los sectores circulares que están en cada vértice sabemos que provienen de una circunferencia de radio 4 cm. No sabemos cuanto mide cada ángulo del triángulo, por lo que no sabemos cuál es el área de cada uno de estos sectores circulares pero sí podemos saber cuanto suman sus áreas ya que la suma de los ángulos internos del triángulo es 180º así que la suma de sus áreas equivale al semicírculo de radio 4 cm, es decir, ½ pi×4 al cuadrado = 8pi.

Del triángulo sabemos que su perímetro es 84 cm y que tiene inscrita una circunferencia de radio 5. En el punto de tangencia el radio y el lado del triángulo son perpendiculares. Podemos pensar el triángulo original como formado por los triángulos AOB, BOC y COA. Entonces:



área ABC = área AOB + área BOC + área COA
= ½ (AB×r + BC×r + CA×r)
= ½ r (AB + BC + CA)
= 5/2(84) = 210

Por lo tanto el área de la figura sombreada es 210 - 8pi


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