La historia que vivieron los matemáticos



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La historia que vivieron los matemáticos

por Isabel Ortega



La falta de dudas lleva al hombre a una falta de curiosidad y entonces no existe la inquietud. Luego, no hay matemática.

Leopoldo Varela

A mis hijas Fernanda y Ana Inés

Introducción

La historia de los matemáticos parece desarrollarse al margen de la vida de todos los días porque no tienen que tomar partido por alguna versión de los hechos, como el historiador, ni tienen que apreciar las tendencias de las épocas, como el literato, ni siquiera tiene que vérselas con la realidad física, como el geógrafo. Tampoco necesitan aprender otras lenguas porque una demostración puede ser comprendida por cualquier colega mientras esté escrita con las notaciones convencionalmente admitidas y, si quiere cambiarlas, bastará que lo aclare para que el lector acomode su forma de pensamiento y siga adelante con los nuevos códigos sin que ello sea un impedimento para entender de qué se trata y hasta para construir nuevas conclusiones derivadas de ese trabajo. Como esta comunicación se da aunque los dos matemáticos no se conozcan personalmente, aunque uno sea argentino y el otro francés y aunque no sean contemporáneos, el trabajo tiene la apariencia de estar aislado del contexto social que lo generó.

La mayoría de la gente no acierta a determinar con qué trabaja concretamente el matemático a menos que sea con la regla y el compás. Como no tiene laboratorio como el físico, ni hace excursiones como el antropólogo, al matemático se lo asocia con los razonamientos lógicos que hace y se lo rodea con una fantasía en la que "el demostrador de teoremas" aparece aislado en su lugar de trabajo, pensando en cosas abstractas y difíciles y, fundamentalmente, aislado de lo que pasó, de lo que pasa y de lo que pasará. Y los matemáticos refuerzan esa idea cuando afirman que crean entes arbitrarios, que establecen definiciones convencionales y que los símbolos los eligen mediante acuerdos, con lo que todo parece un trabajo de unos pocos elegidos, que obtienen aisladamente conclusiones que después se intercambian pero sólo pueden ser entendidas por otros matemáticos, conclusiones que luego ser n usadas por toda la gente (aunque no las comprendan) por aquello de que "las matemáticas gobiernan al mundo".

Más aún, a veces desarrollan teorías cuyos principios contradicen abiertamente nuestros sentidos (por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas en el plano) y tampoco así dejan de ser válidas. Estas particularidades dan la impresión de que las producciones matemáticas son independientes del desarrollo histórico-social y que los matemáticos, que afirman su desinterés por las aplicaciones prácticas están más allá de las influencias del momento histórico que les toca vivir.

Esta es una visión parcial del problema que no repara en que los matemáticos son seres humanos y que sus producciones deben estar inspiradas fuertemente en la realidad para que sean las que, en última instancia, resuelvan el problema del ingeniero, del médico y hasta del almacenero. Justamente por esa omnipotencia que tiene la matemática en el quehacer humano es que sus creadores necesariamente deben ser gente comprometida con las cosas de todos los días. Apelaré a la historia de la matemática para encontrar nexos entre lo social y lo matemático.

Breve historia de la matemática

Lo que sigue pretende ser una visión de la evolución del pensamiento matemático a través de los siglos con vistas a mostrar la manera en que los hechos han influido a los matemáticos que, a su vez, han respondido interpretándolos desde su manera de ver las cosas. Los descubrimientos ( o inventos ) matemáticos resultan ser un reflejo del pensamiento del hombre en su evolución, de modo que la historia influye a los matemáticos ofreciéndole nuevos problemas o condicionando su accionar y ellos, con sus respuestas, van mostrando los avances en el pensamiento humano, en la manera que el hombre tiene de procesar la realidad.

La historia de la matemática tiene períodos en los que una idea totalmente innovadora toma cuerpo a través de las creencias de los matemáticos y modifica los cimientos mismos de la ciencia. Su filosofía cambia no porque niegue lo anterior sino porque amplía de tal forma lo que se considerada terminado que da comienzo a una "nueva matemática". No se trata, como podría pensarse, que las nuevas conclusiones demuestran algún error en lo anterior sino que la nueva teoría toma a la anterior como caso particular. Daré un ejemplo: en el juego del ta-te-ti no hay contradicciones, se lo puede jugar porque sus principios y reglas son lógicamente coherentes. Pero cuando, en vez de nueve casilleros, usamos veinticinco, es decir, jugamos al ta-te-ti-to-tu, no contradecimos al viejo y querido ta-te-ti, ni siquiera estamos probando que es contradictorio, lo que hacemos es trabajar en una dimensión más amplia y ambos juegos coexisten, uno como caso particular del otro. Esto es lo que pasa con la matemática. Como confiamos en que sus conclusiones son "exactas" ( dos más dos son siempre cuatro ) es fácil creer que se trata de algo terminado, ¿quién va a sospechar que el teorema de Pitágoras no dice todo lo que tiene que decir? Pero la evolución de la matemática no tiene el sentido de aproximarse más y más a la realidad como lo hace la ciencia natural sino que, recrea las ideas y las amplía con cada descubrimiento. Cuando se descubrió que la Tierra gira al rededor del Sol, hubo que abandonar la idea de que la tierra era el centro. En matemática, en cambio, la demostración del teorema de Pitágoras asegura la validez total de la propiedad enunciada para cualquier triángulo rectángulo, y un gran salto de imaginación puede llevar a plantear un teorema análogo en tres, cuatro, cinco dimensiones del espacio sin que se contradiga lo ya demostrado.

Por eso la historia de la matemática tiene momentos especiales donde se logra un grado de abstracción que rompe con todos los límites que en la mente de los hombres se tenían por inamovibles, y también tiene períodos de gestación y de consolidación de esos momentos.

El pensamiento matemático primitivo

El primer matemático fue seguramente un pastor genial que obligado a saber si su rebaño, tras ir al pastoreo y volver, tenía la misma cantidad de animales, ideó un sistema con el que a cada animal le hacía corresponder una piedrita y así se aseguraba de tener tantas piedras como animales. Mientras conservaba las piedras en bolsillo podía establecer una correspondencia que le permitía saber si tenía todos sus animales.

Una economía agrícola, aunque rudimentaria, necesita datos numéricos sobre las estaciones y así se inició la confección de los calendarios. Las cuestiones de la cronología, el paso del tiempo, dio lugar a la astronomía. Pero la geometría no existía porque mientras las comunidades fuesen nómades no necesitaban medir terrenos ni construir edificios. A medida que evolucionaban estas comunidades tuvieron que hacer frente a problemas de cálculo que tenían que ver con sus rudimentarios intercambios comerciales.

Los pueblos antiguos

En Sumer los recursos necesarios para la organización económica se acumularon en los templos y fueron administrados por los sacerdotes. Estos administradores no estaban aislados sino que constituían corporaciones permanentes. Por su parte los templos tampoco eran entes aislados porque las deidades generalmente no eran exclusivas de una ciudad así que posiblemente los sacerdotes, parecido a lo que sucedió con los clérigos medievales tenían una influencia que no estaba limitada a una ciudad sino que se extendía a todo el territorio. Esta soberanía de las mismas deidades sobre todo el territorio seguramente fue el factor que determinó la correlación teológico-política de la uniformidad de la cultura material en la región de Sumer y que luego heredó toda Babilonia.

Los templos en Sumer tenían grandes propiedades de terreno, animales y enormes rentas que aumentaban constantemente empleando las riquezas para ayudar a los adeptos con préstamos que, por supuesto, eran devueltos incrementados. Los sacerdotes eran los encargados de administrar estos bienes con la consigna de protegerlos y hacerlos crecer dando cuenta a su divino señor del enriquecimiento logrado. Nunca antes la humanidad había tenido entre manos riquezas semejantes concentradas bajo un poder unitario y los sacerdotes tuvieron que enfrentar el problema de dar cuentas de ella a su dios. Obviamente ya no podían confiar en su memoria para guardar celosamente tanto detalle, tenían que tener en cuenta que su vida iba a terminar pero no así la de la empresa y la del dios al que servían, y que además cualquier otro sacerdote tenía que estar al tanto de las transacciones para cuando llegara el momento de cobrar las deudas que seguirían vigentes aún después de que el sacerdote muriera. Para registrar los tributos del dios y sus transacciones ya no se podía confiar en los artificios mnemotécnicos, como nudos en el pañuelo, que no resolvían el problema. El ministro de dios tenía a su cargo el registro de cuántas vasijas de granos, de qué calidad y a quién se las había dado como anticipo. Cosas por el estilo debían estar a disposición de todos los sacerdotes para que estuviera garantizado el cumplimiento de los compromisos. Así las cuentas del templo dieron origen a la escritura como sistema socialmente reconocido de registro que al principio fue solamente un sistema de anotación numérica.

Los documentos más primitivos sobre matemática son de los babilonios y de los egipcios. No quiere decir que sean los únicos pueblos que tenían conocimientos de matemática pero sí fueron los únicos que dejaron escritos matemáticos que llegaron a nuestros días. Los babilonios, por ejemplo, y en general todos los pueblos que se ubicaron en la Mesopotamia, tenían el sistema de escritura sobre tablillas de barro cocido, lo que hizo que perduraran hasta nuestros días. Los egipcios escribían sobre piedra y papiro. Tales papiros fueron utilizados para rellenar algunas momias, ha permitido que esos documentos llegaran a nuestros días. El papiro más antiguo que ha llegado hasta nosotros es el llamado Papiro Rhind.

Otros pueblos, como los indúes por ejemplo, escribieron sobre bambú ha hecho que desapareciera la documentación por lo que no se tiene constancia de sus conocimientos a cerca de la matemática.

El primer pueblo que habitó la Mesopotamia fue el sumerio cuya civilización apareció allá en el quinto milenio a c y terminó en el tercer milenio a c que es el momento en que ellos introdujeron el sistema sexagesimal, sistema que ha perdurado a través de los siglos y ha llegado a nuestros días.

Al rededor del tercer milenio a c los acadios fueron los antecesores de la cultura babilónica. Aproximadamente en el siglo XIV a c vivieron los asirios que luego tuvieron importancia en matemática, importancia que culmina con la creación de la Biblioteca de Nínive en el siglo VII a c. La traducción de las tablillas, que comenzó en el siglo pasado demostró que tenían una cultura matemática importante y en algunos casos hasta sorprendente. Se han encontrado depósitos de tablillas, aparentemente en bibliotecas, e inclusive una de las colecciones pertenecía a una escuela en la que se dictaban distintas materias y esas tablillas bien podrían ser textos que utilizaban para la enseñanza de la matemática. En las tablillas se nota un interés didáctico en el desarrollo. En ellas se encontraron tablas de suma, de multiplicar, de dividir, tablas de cuadrados y raíces cuadradas, de cubos y raíces cúbicas y hasta sumas de cuadrados y cubos de un mismo número. Esto último lo hacían porque les permitía resolver algunos casos especiales de ecuaciones cúbicas y sistemas de ecuaciones lineales a veces con 5 o más incógnitas. Esto tiene mucha importancia porque en occidente aparecen en el 1500 y estamos hablando de varios miles de años antes de Cristo. Comparando con lo que sabían en Europa en el 1400, los babilonios sabían más de matemática. Seguramente no sabían más que los griegos de la época de oro porque Europa olvidó el trabajo de los griegos durante muchos siglos. En las tablillas aparecen también resoluciones de problemas de progresiones aritméticas y geométricas, regla de tres, interés simple y compuesto. Por ejemplo: ¿Cuánto tiempo deber  estar depositado un capital a una tasa dada para que se duplique? Los intereses que oscilaban entre el 20% y 30% según el préstamo se devolviera en dinero o productos y hay intereses anuales y semestrales. En geometría calculaban  reas de rectángulos, triángulos, trapecios y posiblemente conocían el  rea del círculo.

Los egipcios hicieron de la matemática una forma eficaz de resolver problemas prácticos. Las inundaciones periódicas del Nilo los obligaba a dominar métodos de determinar, temporada a temporada, la división de las tierras. En el Papiro Rhind, el documento egipcio más antiguo que trata de matemática, es una colección de unos 85 problemas sobre fracciones, ecuaciones simples, progresiones, medición de  reas y de volúmenes. Las matemáticas de los egipcios eran sobre todo primitivas y complicadas. En el papiro Rhind se observan sus procedimiento de cálculo engorrosos y también la tenacidad que ponían al resolverlos, pero en ningún caso muestran una imaginación notable ni interés alguno por las generalizaciones. Estos hombres fundamentalmente prácticos y nada inclinados al logro científico consiguieron de todos modos escribir un papiro allá por el 1700 a c plantear y resolver una colección de problemas que un contemporáneo nuestro de cultura media tendría dificultades para resolver.

A pesar del avance en el cálculo y la resolución de problemas, toda esta elaborada herencia de los pueblos antiguos, no pasa de ser una colección de recetas sin intensión alguna de sistematización científicai.

El milagro griego

Los griegos fueron los inventores de la ciencia. Aunque no hay acuerdo entre los historiadores sobre la importancia relativa de cada uno de los aportes que recibieron los griegos, ninguno duda en referirse al "milagro griego" al considerar la obra sistemática sobre la base de los conocimientos heredados de Egipto y Oriente. Los griegos eran dados a los viajes y algunos fueron criados por magos encargados de su instrucción. El milagro griego consistió en ese salto que dieron entre la técnica utilitaria que recibieron y la matemática científica sistematizada, que nos entregaron. Ellos consiguieron que el pensamiento humano obtuviera el primer grado de abstracción matemática.

Los pueblos antiguos calcularon áreas de triángulos pero los griegos generalizaron esos cálculos para "cualquier" triángulo, aunque sea el determinado por tres estrellas, o aún los que todavía no se han dibujado nunca; se ocuparon de definir los entes geométricos con conceptos puramente abstractos y de usar exclusivamente la lógica para obtener las conclusiones lo cual garantizó la validez general de las demostraciones. Pero más aún, Euclides, en Los Elementos, se ocupó de encontrar la mínima cantidad de principios necesarios y suficientes para definir toda su geometría en forma coherente.

Sería interesante estudiar a través de las obras griegas este paso del hombre de la experiencia a la sistematización lógica pero han quedado muy pocos documentos, se ha perdido la mayoría de los textos y algunos los conocemos sólo por citas o referencias.

Las nociones matemáticas son, para los griegos, puras abstracciones. Las figuras o los números son ideas que existen sólo en el pensamiento y el dibujo es sólo una imperfecta representación. Valoran extremadamente la simplicidad y la armonía de las ideas. La recta y la circunferencia son para ellos las líneas perfectas. Pero lo más notable, lo que inaugura una etapa en la concepción matemática es que todas las conclusiones son seguidas de una escrupulosa demostración lógica.

La ciencia griega debe mucho al ideal de la armonía y belleza del genio griego. Sus geniales ideas, su preferencia por la ciencia teórica y sin aplicación y su rigor pero también sus maneras artificiales de exponer las cosas, su restringido campo de estudio y el prejuicio por el infinito que desacreditó a los procedimientos de Arquímedes y obstruyó los de Pitágoras, creando un límite artificial para el desarrollo de la matemática que sólo seguir  su desarrollo después de muchos siglos.

Los griegos valoraron el orden, la claridad, el rigor, pero se volvieron esclavos de ellos y esto los cerró caminos que podrían haber sido fecundos. Así y todo el paso dado es tan monumental que se ha dicho que sólo "Los Elementos" de Euclides hubiera bastado para asegurar la gloria de esa cultura. Los pueblos de esa época tenían esclavos y si bien es cierto que entre los griegos la esclavitud era más tenue, de todos modos se reservaba a los esclavos toda la actividad manual y artesanal. El concepto que los griegos tenían de los esclavos se nota en Aristóteles cuando analizaba las necesidades de los esclavos y decía que son las que impiden que muera y deje de producir. Lo cierto es que todo esto influyó para que la filosofía de la matemática tuviera un acentuado valor negativo por las aplicaciones prácticas de la matemática y hasta se puede decir, sin exagerar, que en la escuela platónica hay una verdadera repugnancia por todo lo que fuera instrumental y operativo. A esta tradición se debe aún en nuestros días la resistencia de algunos profesores de matemática para vincular esta ciencia con las aplicaciones.

Los romanos, la Edad Media Cristiana y Musulmana, el Renacimiento

Los griegos habían dado el gran paso que le dio el carácter de ciencia a la matemática. Con sus principios generales y sus demostraciones lógicas habían conseguido el primer pase de abstracción del pensamiento matemático. Para el segundo avance hubo que esperar más de diez siglos, a la época de Descartes. Pero, ¿qué sucedió en todo ese tiempo?

La decadencia empieza con la dominación romana y, poco a poco, se va acentuando hasta que desaparece totalmente la matemática en la Edad Media. Los romanos, mezcla de abogados y militares no se ocuparon de la ciencia porque su actitud no era contemplativa sino práctica.

La Edad Media Cristiana, con su rigidez, no tiene dudas de que el mundo fue creado para el hombre y el hombre para Dios. Esta falta de duda provoca la falta de curiosidad, de inquietudes, imprescindible para el desarrollo de la ciencia. Así no sólo se desconoció a los griegos sino que los matemáticos sabían menos que el escriba Ahmés, autor del Papiro Rhind del siglo -XVII.

De la geometría lo único que queda en los libros de textos son los cinco postulados de Euclides y el enunciado de unos pocos teoremas. La matemática se refugia en los conventos en donde, por la necesidad de determinar el Día de Pascuas se exige que haya siempre un fraile capaz de calcular el calendario. Cuando Carlo Magno busca formar cierto centro cultural invita a su corte al sabio más distinguido de la época que había escrito un libro "dedicado al cultivo del genio de los caballeros" cuyo contenido puede compararse a un manual de ingreso a la escuela secundaria de nuestra época.

Pero en Oriente se produce una eclosión a través de los hindúes y de los árabes. El pueblo hindú no tenía los prejuicios de los griegos así que se lanzaron a desarrollar la aritmética y el álgebra dejando de lado la geometría. Se preocuparon por la practicidad de las conclusiones y no temían al infinito ii así que operaron en forma más simple que los helenos pues no se ocupaban tanto de la justificación como de los resultados. Hicieron un descubrimiento aparentemente modesto, el cero, que les dio la posibilidad de manejar un sistema de numeración posicional y hacer cuentas de modo diferente. iii

Esto, que parece sólo un detalle hizo avanzar enormemente al cálculo y la aritmética empezó a perder la desventaja que en Grecia había tenido con la Geometría.

Los musulmanes, que gozaban por entonces de gran poder, tuvieron el mérito de sintetizar los descubrimientos de los sabios griegos y de los calculadores hindúes. En la Alta Edad Media tuvo lugar el pasaje de la ciencia del mundo árabe al cristiano. Los árabes creían firmemente en lo que Mahoma predicó. El Corán dice que conseguirían el paraíso si morían en el campo de batalla, pero también dice que es tan importante la sangre del guerrero que muere en la guerra como la tinta con la que escribe el sabio. Así, mostraron un profundo respeto por la ciencia que les permitió trasvasar la cultura de los pueblos que conquistaban. Dice la leyenda que un Califa después de haber sometido a un pueblo, pidió como botín todos los libros griegos que había en la ciudad. A comienzos del siglo XI prácticamente no había matemáticos en el Occidente cristiano y hasta los de la España musulmana eran de escasa importancia. Pero a comienzos del siglo XIII Occidente ya tenía por lo menos un matemático original.

Los árabes fueron ciertamente los iniciadores del álgebra aportándole, para empezar, su nombre. Se dedicaron a resolver problemas prácticos y quisieron obtener resultados rápidos. A menudo descuidaron el rigor y comprendieron rápidamente que para tener éxito no es necesario tener siempre ante los ojos la significación de los entes con los que se opera, es decir que se manejaban cómodamente con los símbolos matemáticos. Se comprende entonces la dificultad de los griegos para recorrer el camino que llevó a los árabes al desarrollo del álgebra y el desprecio que sintieron por sus propios calculadores, como Diofanto, por ejemplo. El álgebra de los árabes culmina su máxima perfección con Omar Khayyam en el siglo XI. El hombre que inicia la matemática occidental en el mundo cristiano es Fibonacci en el siglo XII

Cuando el mundo cristiano, en los siglos XIV y XV, descubrió esta nueva disciplina, no tenía la audacia de los árabes ni la de los hindúes y no puedo desembarazarse de los prejuicios teóricos heredados de los griegos así que el período de maduración continuó.

El sello renacentista se advierte en la matemática del siglo XVI: ese mundo de transición, de enriquecimiento a través de la revalorización de los viejos saberes científicos. Los grandes señores mantuvieron a artistas y científicos en sus cortes, empezaron a popularizarse las ciencias y toda la cultura. Las lenguas romances permitieron una mayor comunicación. Las ciudades tomaban partido por sus matemáticos que enviaban, respaldados por sumas de dinero, carteles de desafío público a los matemáticos de otra ciudad. La ciencia se preparaba para una nueva etapa.

La era cartesiana

Era necesario reformar las base del álgebra para que adquiriera su independencia y la obra de Descartes fue la que lo consiguió. Planteó al álgebra como un método que ayuda a razonar con cantidades abstractas e indeterminadas. Era fundamentalmente un filósofo y aunque su libro se llama "Geometría" lo que hizo fue usar desarrollar un álgebra que usó para plantear la geometría. Es el creador de la Geometría Analítica en la que, con números y ecuaciones se obtienen las propiedades de las figuras. iv Para Descartes el objeto de la matemática no tiene valor porque no colabora en la explicación del universo. Consigue que la matemática se haga mecánica, fácil y no requiera esfuerzo del espíritu. La producción se vuelve automatizada, industrializada, sólo es necesario combinar elementos entre sí todo lo que se quiera. Para él, el álgebra es el método de la ciencia universal. Al aplicar el método algebraico a la geometría prevé el importante papel del álgebra y del cálculo en el desarrollo científico.

Como no se interesa por la belleza y la armonía de lo que estudia y se concentra sólo en un método abstracto de combinaciones lógicas de elementos indeterminados. René Descartes rompe claramente con el ideal griego y así abre nuevas perspectivas a las matemáticas del futuro. Queda atrás el ideal de la ciencia contemplativa para dar paso al ideal de la ciencia constructiva. Esto no quiere decir que el cambio fue de un día para otro. Aún matemáticos de la talla de Fermat y Newton permanecieron fieles al espíritu griego y aún en nuestros días se observan influencias griegas en la enseñanza elemental.

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