Origen de la Probabilidad Nacimiento de la probabilidad



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Origen de la Probabilidad

Nacimiento de la probabilidad

En 1654 Antoine Gombaud, el caballero de Méré, un jugador compulsivo, pidió a Blaise Pascal que le resolviese el problema del reparto de apuestas cuando se suspendía la partida antes de terminar. La solución consistió en darse cuenta de que el reparto de las apuestas debe hacerse en función de la probabilidad de ganar que tuviese cada jugador en el momento de interrumpirse el juego. Había nacido la probabilidad.

 

Concepto Clásico de Probabilidad



El primero en dar una definición clásica de probabilidad fue Jakob Bernoulli en 1713, reformulada después por Abraham De Moivre de la siguiente manera:

"...una fracción en la que el numerador es igual al número de apariciones del suceso y el denominador es igual al número total de casos en los que es suceso pueda o no pueda ocurrir. Tal fracción expresa la probabilidad de que ocurra el suceso".

El enfoque clásico de la probabilidad está basado en la suposición de que todos los resultados del experimento son igualmente posibles. La probabilidad se calcula de la siguiente manera:


Probabilidad =

número de posibles resultados del evento

número total de resultados posibles del experimento

Ejemplo:

El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba?

Las caras el dado están numeradas del 1 al 6, entonces hay una posibilidad de un total de seis de que el número 2 quede hacia arriba:


P(cae 2) =

1

= 0.166

6

La principal dificultad que presenta esta interpretación de la probabilidad es que se basa en sucesos equiprobables, siendo fácil para problemas sencillos, como los de cartas, dados o urnas, es casi imposible para problemas más complejos.

 

Concepto Frecuentista de Probabilidad



Bernoulli resolvió la cuestión de cómo hallar la probabilidad de ocurrencia de un suceso aun siendo imposible contar los casos favorables:

"Aquí hay otro camino disponible para alcanzar el resultado deseado. Lo que no se puede hallar a priori se puede obtener a posteriori, es decir, mediante la observación múltiple de los resultados de pruebas similares…"

De esta manera, Bernoulli introdujo el concepto de probabilidad "frecuentista" o "estadística": asignar como probabilidad de un suceso el resultado que se obtendría si el proceso se repitiera en condiciones similares un número grande de veces.

La probabilidad de que suceda un evento es determinada observando como sucede el evento en el pasado. En términos de fórmula:



Probabilidad =

número de veces que sucedió el evento en el pasado

número total de observaciones

Ejemplo:

Se quiere saber si una moneda está cargada. Para determinar la probabilidad de que caiga águila se lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces cayó águila. Si aplicamos la fórmula:



P(cae águila) =

25

= 0.41

60

Algunas dificultades que presenta este enfoque de la probabilidad es que no dice cual es el número "grande" de observaciones necesario, o que se entiende por condiciones similares, porque si las condiciones son las mismas los resultados serán también los mismos.

 

Concepto axiomático de probabilidad



La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov (1933), quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.

Dado un espacio muestral S, diremos que P es una probabilidad sobre un evento dado si las siguientes propiedades (axiomas) son verificadas:

Axioma 1

La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 > P(A) > 1

Axioma 2


La probabilidad de que ocurra el espacio muestral es 1.

P(S) = 1


Axioma 3

Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, es decir que no tienen elementos en común, entonces:

P(AB) = P(A) + P(B)

Si se tienen n eventos mutuamente exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces:

P(A1A2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

 

Concepto Subjetivo de Probabilidad



En el segundo cuarto del siglo XX surgió una nueva interpretación, llamada ‘subjetiva’, según la cual la probabilidad mide el grado de creencia de un individuo en la verdad de una proposición, variando entre 0 (el individuo cree que es falso) a 1 (cree que es cierto). Esta interpretación fue propuesta por primera vez por el filósofo Frank P. Ramsey . Para los subjetivistas la probabilidad de un suceso debe variar en función de la nueva información recibida respecto del suceso.

Según este enfoque la probabilidad de que un evento en particular suceda es asignada basándose en cualquier información disponible, como intuición, opiniones etc.



Ejemplo:

 

Hay una probabilidad del .80 de que el América le gane a las Chivas.
Hay una probabilidad del .90 de que las ventas mejoren el año próximo.
Hay una probabilidad de .70 de sacar un 10 en el examen.


Operaciones básicas con eventos

Intersección

Intersección de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a los dos eventos dados. El operador de la intersección es



Unión


Unión de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a alguno de los dos eventos dados. El operador de la unión es U

Complemento

El complemento de un evento es el conjunto de resultados de un experimento que no pertenece a un evento dado.

Diferencia

Diferencia de dos eventos es el conjunto de resultados de un evento dado que no pertenece a otro evento dado. El operador de la diferencia es el signo “menos” (-)

 

Axiomas de Probabilidad



Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

Axioma 1


La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 > P(A) > 1

Axioma 2

La probabilidad de que ocurra el espacio muestral es 1.

P(S) = 1

Axioma 3


Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, es decir que no tienen elementos en común, entonces:

P(AB) = P(A) + P(B)

Si se tienen n eventos mutuamente exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces:

P(A1A2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

 

Teorema 1: Regla de Adición



La probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuación:

P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A B )

Ejemplo:

Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Si el evento A es cae un número par

A = { 2, 4, 6 }

Si el evento B es cae un número menor de 3

B = { 1, 2 }

¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos?

La probabilidad de A y la probabilidad de B es:

P(A) =

3

= 0.50

 

P(B) =

2

= 0.33

6

6

Para aplicar este teorema es necesario conocer la probabilidad de la intersección de estos dos eventos si se quiere conocer la probabilidad de la unión, o de manera inversa, conocer la probabilidad de la unión para calcular la probabilidad de la intersección.

En este caso queremos saber la unión, entonces es necesario conocer la intersección, que es " número par y menor de 3".



A B = { 2 }

   entonces   

P(A B)=

2

= 0.33

6

Si aplicamos la regla de adición:

P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A B )

P( A U B ) = 0.50 + 0.33 – 0.16 = 0.67

 

Teorema 2: Regla de Complementación



La probabilidad de que el complemento de un evento ocurra está dada por la siguiente ecuación:

P(

A

) = 1 – P ( A )

Si A es cae un seis, entonces la probabilidad de que no caiga seis es:

P(

A

) = 1 – 0.16 = 0.84

 

Teorema 3: Regla de Diferenciación

La probabilidad de que un evento dado ocurra pero no ocurra otro evento dado pertenecientes al mismo espacio muestral está dada por

P(A - B) = P(A) – P(A B)

Si el evento A es cae un número par y si el evento B es cae un número menor de 3, entonces la probabilidad de que caiga par pero no menor de tres es:

P(A - B) = P(A) – P(A B)

P(A - B) = 0.50 – 0.16 = 0.33

Y la probabilidad de que caiga menor de tres pero no par es:

P(B - A) = P(B) – P(A B)

P(A - B) = 0.33 – 0.16 = 0.17

 

Probabilidad Condicional



La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento dado ocurra dado que otro evento ocurre. El operador de la probabilidad condicional es el signo |

Ejemplo:


El experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas verdes.

P(A) = {la primer canica es roja}

P(B) = {la segunda canica es roja}

P(B|A) = {la segunda canica es roja dado que la primer canica es roja}

P(AnB) ={las dos canicas son rojas}

Al extraer la primer canica hay en la urna 5 canicas rojas de un total de 10, por lo que la probabilidad es:



P(A) =

5

= 0.5

10

Al extraer la segunda canica hay en la urna 4 canicas rojas de un total de 9, por lo que la probabilidad condicional de que la segunda sea roja dado que la primera fue roja es:

P(B|A) =

4

= 0.44

9

 

Teorema 4: Reglas de Multiplicación

Regla de multiplicación para eventos independientes

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad de que suceda el otro.

Para dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que ambos eventos sucedan es encontrada mediante la multiplicación de sus dos probabilidades.

P( A B ) = P( A ) P( B )

Ejemplo:

Una máquina empaca vegetales en una bolsa de plástico. Experiencias anteriores revelan que en ocasiones los paquetes tienen menos del peso correcto, y en otras más, pero la mayoría de las veces tiene el peso satisfactorio. Como muestra la siguiente tabla:



Peso

Probabilidad

debajo del correcto

.025

correcto

.900

arriba del correcto

.075

Supongamos que queremos saber la probabilidad de que al inspeccionar tres paquetes, los tres pesen correctamente. Establezcamos los siguientes eventos:

A = {"el primer paquete pesa correctamente"}

B = {"el segundo paquete pesa correctamente"}

C = {"el tercer paquete pesa correctamente"}

La probabilidad de cada uno de estos eventos independientes es:

P(A) = .900

P(B) = .900

P(C) = .900

Según el teorema de multiplicación la probabilidad de que los tres eventos ocurran es:

P(A B C) = P(A)P(B)P(C)

P(A B C) = (.900)(.900)(.900) = .729

Regla de multiplicación para probabilidad condicional

Para dos eventos A y B, donde A depende de la ocurrencia de B, la probabilidad de que sucedan ambos eventos está dada por la fórmula:

P( A B ) = P( B ) P( A|B )

Ejemplo:

Cierto departamento de una compañía esta compuesto por 8 hombres y 4 mujeres, de entre ellos se va elegir al nuevo jefe del departamento, para lo cual se entrevistará a dos de ellos. Si todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos, ¿cual es la probabilidad de que las dos personas entrevistadas sean mujeres?

A = { "el primer entrevistado es mujer" }

B = { "el segundo entrevistado es mujer" }

La probabilidad de que suceda el evento A = { "el primer entrevistado es mujer" } es:

P(A) =

4

= 0.33

12

La probabilidad de que suceda el evento B = { "el segundo entrevistado es mujer" } dado que ya sucedió A, y solo hay tres mujeres de 11 elementos:

P(B|A) =

3

= 0.27

11

Según el teorema de multiplicación la probabilidad de que los dos eventos ocurran es:

P( A B ) = P( A ) P( B|A ) = (0.33)(0.27) = .089

 

Teorema de Bayes



En el siglo XVIII el reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano inglés, se hizo esta pregunta: ¿realmente existe Dios?. Siendo el, un entusiasta matemático se avocó a desarrollar una fórmula para encontrar la probabilidad de que Dios existe, basándose en la evidencia disponible sobre la tierra.

Años después de la muerte de Bayes, Laplace desarrolló el trabajo del reverendo, y por vez primera, se logra la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

La fórmula del teorema de Bayes es:


P(A1|B) =

P(A1)P(B|A1)

P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An)

Ejemplo:

Don Pepe tiene una tienda, en el trabajan 3 cajeras, Andrea, Bianca, y Consuelo. Andrea realiza el 50% de los cobros, Bianca el 30% y Consuelo el 20%. Cuando cobra Andrea hay un 1% de probabilidad de que lo haga mal, cuando lo hace Bianca hay un 2% de que cobre mal, y si cobra Consuelo hay un 3% de probabilidad de que se equivoque.

Un cliente se quejó con Don Pepe porque le cobraron mal. ¿Cual es la probabilidad de que el mal cobro lo hizo Andrea?

Vamos a considerar los siguientes eventos:

M = {se hizo un mal cobro}

A={el cobro fue hecho por Andrea}

B={el cobro fue hecho por Bianca}

C={el cobro fue hecho por Consuelo}

De los eventos anteriores podemos obtener las siguientes probabilidades:

P(A)=.5


P(B)=.3

P(C)=.2


P(M|A)=.01

P(M|B)=.02

P(M|C)=.03

Utilizando el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que el cobro lo hizo Andrea dado que fue un mal cobro:



P(A|M) =

P(A)P(M|A)

P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) + P(C)P(M|C)

Sustituyendo los valores:

P(A|M) =

(.5)(.01)

=

.005

= .2941

(.5)(.01) + (.3)(.02) + (.2)(.03)

.005 + .006 + .006

 

Problemas

1. Suponga que de un grupo de 500 estudiantes universitarios se encuentra que 300 fuman, que 350 consumen bebidas alcohólicas y que 250 tienen estos dos hábitos nocivos para la salud. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente:

a) tenga alguno de estos dos malos hábitos?

b) no tenga ninguno de estos dos pésimos hábitos?

c) fume pero no tome?

d) tome pero no fume?

e) No fume?

f) Fume dado que toma?

g) Toma dado que fuma?

h) No tenga alguno de estos nefastos hábitos?

2.- La probabilidad de que una compañía norteamericana ubique una de sus plantas en Juárez es 0.7, la probabilidad de que instale una planta en Chihuahua es 0.4, la probabilidad de que no se ubique ni en Juárez ni en Chihuahua es .20. ¿Cuál es la probabilidad de que

a) Se ubique en alguna de estas dos ciudades?

b) Se ubique en ambas ciudades?

c) No se ubique en alguna de estas dos ciudades?

d) Se ubique en Chihuahua pero no en Juárez?

e) Se ubique en Juárez pero no en Chihuahua?

f) Ubique una planta en Juárez dado que ya se ubicó en Chihuahua?

g) Ubique una planta en Chihuahua dado que ya se ubicó en Juárez?

3.- En cierta escuela de 45 estudiantes que reprobaron Estadísticas I, 32 dijeron que reprobaron por no estudiar, 18 porque no le entienden al maestro, 9 por causas diferentes a estas dos. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos:

a) Reprobó porque no estudió o porque no le entiende al maestro

b) Reprobó porque no estudió y porque no le entiende al maestro

c) Reprobó porque no estudió y no porque no le entiende al maestro

d) Reprobó porque no le entiende al maestro y no porque no estudió

4.- Se realizó una encuesta sobre preferencias en materia de periódicos, de 350 personas entrevistadas, 200 leen el Heraldo, 140 leen el Diario y 105 leen los dos periódicos. Encontrar la probabilidad de los siguientes eventos:

a) Lee alguno de estos dos periódicos

b) No lee ninguno de estos dos periódicos

c) Lee el Diario pero el Heraldo no

d) Lee el Heraldo pero el Diario no

e) Lee el Heraldo dado que lee el Diario

f) Lee el Diario dado que lee el Heraldo

g) No lee alguno de estos dos Periódicos

5.- La probabilidad de que en un matrimonio, el esposo vea cierto programa de TV es 0.4, la probabilidad de que la esposa lo haga es de 0.5. La probabilidad de que el esposo vea el programa de TV dado que la esposa lo hace es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que:

a) Ambos vean el programa de TV

b) Alguno de los dos vea el programa de TV

c) Ninguno vea el programa de TV

d) El esposo vea el programa pero la esposa no

e) La esposa vea el programa pero el esposo no

f) La esposa vea el programa dado que el esposo lo hace

g) Alguno de los dos no ve el programa

6.- El profesor Ramos tiene muchos años impartiendo la clase de matemáticas, por experiencia sabe que el 80% de los estudiantes contestan los problemas que les encarga de tarea. También sabe que el 90% de los estudiantes que hacen la tarea aprueban el curso y que el 60% de los estudiantes que no hacen la tarea reprueban. Manuel aprobó el curso, ¿cual es la probabilidad de que hizo la tarea?

7.- Un equipo de beisbol juega el 70% de las veces de noche y el 30% de día. Ellos ganan el 50% de los juegos nocturnos y el 90% de los juegos diurnos. El día de ayer ganaron ¿cuál es la probabilidad de que el juego fue en la noche?

8.- El 30% de las ventas de una tienda departamental son en efectivo, el 30% son pagadas con cheque en el momento de la compra y el 40% son a crédito. El 20% de las compras en efectivo, 90% de las compras con cheque y el 60% de las compras a crédito son mayores a $500. En este momento se está realizando una compra por $1000, ¿cuál es la probabilidad de que sea en efectivo?

Análisis Combinatorio

El análisis combinatorio es la rama de las matemáticas que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos, y nos  va servir  para resolver y comprender problemas sobre probabilidades.

Técnicas fundamentales del Análisis Combinatorio

En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. Estas técnicas son: la técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación y la técnica de la combinación.


La Técnica de la Multiplicación

Según La técnica de la multiplicación, si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas

En términos de fórmula

 Número total de arreglos = m x n 

Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:

 Número total de arreglos = m x n x o

Ejemplo:


 Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor? 

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

 Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

 Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

La Técnica de la Permutación

Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema:

Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?

Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:


T D C

D T C

C D T

T C D

D C T

C T D

 Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles

La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:

 


n P r =

n!

(n – r )!

Donde:

 nPr es el número de permutaciones posible

n es el número total de objetos

r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

 


n P r =

n!

=

3!

=

3 x 2

= 6

(n – r )!

( 3 – 3 )!

1

 Ejemplo:

 Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?

 


n P r =

n!

=

8!

=

8!

= 336

(n – r )!

( 8 – 3 )!

5!

 En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:

n Pr = nr

 Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:

 AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC

 Usando la fórmula:

 n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9

 

La Técnica de la Combinación



En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

 Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

 Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

 


n C r =

n!

r! (n – r )!

Ejemplo:

En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones:

 


n C r =

n!

=

7!

=

7!

= 35

r! (n – r )!

3! ( 7 – 3 )!

3! 4!

 

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

 

Problemas

 

1.- Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero solo tiene 6 lugares en la mesa.

a)    ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.

b)    ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados.

c)    Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.

d)    ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.

e)    Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.

f)      ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.

g)    Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.

h)    ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de queden sentados a la mesa puros hombres?

i)       ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3 mujeres, y asigna los lugares al azar también, queden sentados intercalados hombres y mujeres?

 

 



 

2.- En la escuela primaria Netzahualcoyotl imparte clase la maestra Bety. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por 15 niñas y 12 niños. Bety propone a los niños formar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. La mesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales.

 

a)    ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.



b)    Bety piensa que como hay más niñas que niños la mesa directiva debe integrarse por 3 niñas y 2 niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.

c)    La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puesto de presidente sea para niñas y los otros 4 puestos sean para niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los otros puestos.

d)    El profesor de educación física ( Ramón ) dice que todos los puestos deben de ser para niños, pero podría dársele el puesto de secretaria a una niña. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si le importa como queden asignados los otros puestos.

e)    En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y una niña) y la maestra Bety decidió que ellos no pueden formar parte de la mesa directiva. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.

f)      ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.

g)    ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? Sin importar como queden asignados los puestos.



h)    ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero sean niños y las dos vocales niñas? Sin importar como queden asignados los puestos.


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