Oscilaciones acopladas



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Oscilaciones acopladas
Nuestro último tema de aplicación es el estudio de los sistemas de osciladores acoplados. Como ocurre con los otros temas analizados, trataremos el problema en su ejemplo elemental, dos osciladores (masa con resorte a punto fijo) acoplados por un resorte más débil, de modo de apreciar los conceptos involucrados con la menor complicación posible, para luego generalizar a muchos osciladores. Veremos también en este caso cómo los métodos matemáticos son análogos a otros problemas vistos en la Mecánica, y utilizables por extensión a problemas no mecánicos.
Sistema acoplado elemental
Sean dos masas m1 y m2, vinculadas a puntos fijos por sendos resortes de constantes k1 y k2. Esto es un sistema de dos osciladores libres con frecuencias de oscilación w1o y w2o, wio= (ki/mi)1/2. Acoplemos ahora los osciladores con un tercer resorte de constante a, como en la figura, y tendremos el más elemental de los sistemas de osciladores acoplados.

y

Si y1 e y2 son apartamientos de las posiciones de equilibrio, las ecuaciones de movimiento para cada una de las masas son
m1 y1'' + k1y1 + a(y1-y2) = 0 (13.1a)

y

m2 y2'' + k2y2 + a(y2-y1) = 0 . (13.1b)


El acoplamiento se expresa acá en que en la ecuación de una masa aparece la coordenada de la otra. El potencial del que se derivan estas fuerzas es --probar--
V(y1,y2) = 1/2 (k1+a) y12 + 1/2 (k2+a) y22 - a.y2.y1 (13.2)
donde se ve que es el tercer término (el del "producto cruzado" entre las coordenadas) el que da lugar al término de acoplamiento en las ecuaciones de movimiento y caracteriza, entonces, al acoplamiento en el potencial. Llamemos ahora w1 y w2, a las frecuencias con que oscila cada coordenada si la otra se mantiene constante,
w12 = (k1+a)/m1 , w22 = (k2+a)/m2 , (13.3a)
y cambiemos las variables y la constante de acoplamiento a
xi = yi.√mi y c = a/√(m1.m2) (13.4a,b)
para simplificar las ecuaciones de movimiento a
x1'' + w12 x1 - cx2 = 0 , y x2'' + w22 x1 - cx1 = 0 . (13.5a,b)
Ensayamos soluciones exponenciales con igual frecuencia para ambas coordenadas
x1(t) = A1.exp(iwt) , x2(t) = A2.exp(iwt) (13.6)
que reemplazadas en las anteriores dan
(w12-w2). A1- c.A2 = 0 (13.7a,b)

y

-c.A1+ (w22-w2).A2 = 0


que constituyen un sistema de ecuaciones de autovectores (A1,A2) y autovalores w.
Los autovalores: frecuencias de oscilación acopladas.
Como siempre, una solución no trivial ((A1,A2)=0) requiere la anulación del determinante de los coeficientes,
(w12-w2). (w22-w2) - c2 = 0 (13.8)
cuya solución determina los autovalores w' y w" (por frecuencia para el caso acoplado)
w'"2 = 1/2 (w12 + w22) +/- ((w12 - w22)2/4 + c2)1/2 . (13.9)

La existencia de raíces reales para (13.9) indica que existen dos frecuencias a las cuales se puede encontrar a las masas oscilando en modo acoplado.


Dos casos extremos:

i) w1=w2, correspondiente por ejemplo a masas y resortes iguales, entonces


w'"2 = w12 +/- c
y, si la constante de acoplamiento a fuese igual a las de los otros resortes, resulta

w'2 =1.5 w12 y w"2 =0.5 w12


Interpretar.
ii) La diferencia en el radicando es distinta de 0 y el acoplamiento es débil respecto de las constantes de los osciladores, y también respecto de la diferencia en el radicando, de modo que reescribiendo (13.9)

w'"2 = 1/2 (w12 + w22) +/- (w12 - w22)/2 (1+ 4c2/(w12 - w22)2)1/2 . (13.12)


y desarrollando a primer orden la raíz alrededor de 1, es
w'"2 = 1/2 (w12 + w22) +/- [(w12 - w22)/2 + c2/(w12 - w22)] . (13.13)
o sea
w'2 = w12 + c2/(w12 - w22) (13.14a)

y

w"2 = w22 - c2/(w12 - w22) (13.14b)



Los resultados indican que:
-en cualquier caso las dos frecuencias de oscilación acoplada, están más alejadas que las de los osciladores oscilando individualmente: una es menor que la más baja, y la otra superior a la más alta.

-Se verifican además las siguientes relaciones que se usarán más tarde
w'2 + w"2 = w12 + w22 ; (13.15)
w'2 . w"2 = w12 - c2 (13.16)

y

(-w'2 + w12 )(- w"2 + w22)= - c2 ; (13.17)



Los autovectores: la relación de amplitudes.
Buscamos ahora las amplitudes de (13.6). Está claro que habrá dos pares (A1,A2) uno correspondiente a cada autovalor. También que no se determinarán los valores absolutos de A1 y A2 (porqué?) sino solo su relación. De (13.7a) resulta
(A2/A1)' = (w12- w'2) / c
o, usando (13.14)
(A2/A1)' = c / (w22- w12) . (13.18a)
Similarmente de (13.7b) y (13.14b)
(A2/A1)" = - (w22- w12) / c . (13.18b)

de modo que los autovectores son ortogonales --por tener tangentes inversas y opuestas--..

Para comprender su significado, grafiquémoslos en el plano x1,x2.

Recordamos que un punto (x1,x2) representa la configuración del sistema dada por la posición de ambas masas (si bien escaladas por la raiz de las masas según (13.4a)), de modo que un punto en el primer cuadrante --como (A'1,A'2) significa que ambas masas están a derecha de sus posiciones de equilibrio. Y como esas son las amplitudes (relativas) con que oscilan ambas masas con la frecuencia w' (13.6), significa que en ese "modo" las masas oscilan en fase, y su movimiento ocurre a lo largo de la recta X. El modo de oscilación (conjunta) está caracterizado entonces por la frecuencia comun w', y la relación de amplitudes. El otro modo estará caracterizado a su vez por la frecuencia w" y la relación de amplitudes (A"2/A"1), que por tener signo negativo, indica que las masas oscilan a contrafase. Estos modos se denominan "modos normales de oscilación" y equivalen --en el caso acoplado-- a las oscilaciones libres de cada masa cuando no están acopladas en el sentido siguiente: Cuando las masas no están acopladas, una excitación a lo largo de x1 (desplazo la masa 1 hasta cierto valor de x1 y suelto para excitar su oscilación) no afecta a la coordenada x2. No ocurre así cuando acoplo las masas: una excitación a lo largo de x1, pondrá en movimiento la coordenada 2. En cambio si excito un modo normal, digamos el X, que significa desplazar hacia el mismo lado ambas masas y con una relacion de desplazamientos igual a A'1/A'2, solo este modo se excitará y no el otro. Esta independencia es lo que expresa su ortogonalidad.

Dos modos independientes para un sistema de dos coordenadas, funciona como base de representación de cualquier oscilación. Así, podremos escribir
x1(t) = α'1 X(t) + α"1 Y(t) (13.19a,b)

y

x2(t) = α'2 X(t) + α"2 Y(t)



donde (α'1,α'2) y (α"1,α"2) son los versores en las direcciones de X e Y, es decir, los αi son los cosenos directores que intervienen en la proyección de las nuevas coordenadas sobre las viejas, satisfaciendo entonces
α'12 + α'22 = 1 , α'12 + α'22 = 1 , y (α'1,α'2). (α"1,α"2) = 0 (13.20a,b,c)
A X e Y se las llama coordenadas normales del sistema en cuestión. Son, como se dijo, las coordenadas excitables independientemente.
Desacople matemático en coordenadas normales
Habíamos dicho que el acoplamiento físico se manifestaba matemáticamente en que el potencial, por ejemplo, exhibía productos "cruzados" entre las coordenadas, además de los cuadrados usuales. El potencial en coordenadas normales se escribe, partiendo de (13.2) y usando (13.3-13.4)
V(x1,x2) = 1/2 w12 x12 + 1/2 w22 x22 - c. x1. x2 (13.21)
Reemplazando por las coordenadas normales
V(X,Y) = 1/2 w12 (α'1 X + α"1 Y)2 + 1/2 w22 (α'2 X + α"2 Y)2 -
-c. (α'1 X + α"1 Y) (α'2 X + α"2 Y) (13.22)
Desarrollando cuadrados y agrupando se obtiene
V(X,Y) = (1/2 w12 α'12 +1/2 w22 α'22 -c α'1 α'2 )X2+
+ (1/2 w12α"12 + 1/2 w22 α"22 - c α"1 α"2 )Y2 +
+ (w12 α'1α"1+ w22 α'2α"2 - c( α'1 α"2 + α"1 α'2)) XY (13.23)
Reemplazo w12 y w22en el coeficiente de X2 y en el de XY, por
w12 = w'2 + c α'2/ α'1 y w22. = w'2 + c.α'1/ α'2 ( 13.24a,b)
obtenidos de (13.7a,b) y desaparecen los términos que contienen c. Lo mismo en el coeficiente de Y2, reemplazando en las anteriores (13.24) "s por 's,

V(X,Y) = 1/2 (α'12 + α'22) w'2. X2+ 1/2 (α"12 +α"22 ) w"2 Y2 +


+ (α'1α"1+ α'2α"2) w'2XY . (13.26)
Finalmente usamos las (13.20) para obtener:
V(X,Y) = 1/2 w'2 X2+ 1/2 w"2 Y2 (13.27)
que expresa la energía potencial de dos osciladores que no interactúan entre sí. Pero éstos osciladores son, como se vió, combinaciones particulares (los modos) de oscilación conjunta de ambas masas.
De similar manera, pero con mucho menos álgebra, podemos ver que
T = m1/2.(dy1/dt)2 + m2/2.(dy2/dt)2

resulta


T = 1/2 (dX/dt)2 + 1/2 (dY/dt)2 (13.28)
completando la descripción en coordenadas normales.

Comentario sobre autovectores y desacoples
Ya en otra parte del curso, cuando tratamos el cuerpo rígido, nos encontramos con ecuaciones de autovectores y autovalores para resolver. Quisiera aprovechar que disponemos de dos aplicaciones de origen bien distinto para rastrear qué hay de común.

Se trataba en el cuerpo rígido, de las ecuaciones que definían las direcciones de los ejes principales. Qué los caracteriza? Que excitada una rotación alrededor de uno de esos ejes, el L resulta paralelo al w, y el cuerpo queda libremente girando alrededor de esa dirección. Si por el contrario se imprime una rotación alrededor de una dirección cualquiera, no principal, la rotación se contagia a otras direcciones espaciales a menos que se lo fuerce al cuerpo, mediante ligaduras, a conservarla.

La conclusión aparece entonces así: en ambos problemas, los autovectores solución (ejes principales, y coordenadas normales) representan modos excitables individualmente, y por ende, modos o coordenadas o direcciones independientes.

Matemáticamente vimos que el acoplamiento se expresaba en que el potencial (para el caso de los osciladores) contiene productos cruzados de las coordenadas. Análogamente en el caso del cuerpo rígido, es la energía cinética que contiene productos cruzados de las componentes de la velocidad angular. En ambos casos, cuando se expresan en coordenadas normales, o ejes principales, las expresiones correspondientes contienen solo los términos cuadráticos y desaparecen los productos cruzados.

En ambos casos, para que ello ocurra, se practicó una rotación de ejes de modo que ciertas matrices, el tensor de inercia, y la matriz de los coeficientes en (13.7)
w12 - c

-c w22


se diagonalizan. En particular la última, en las coordenadas rotadas, X Y, las normales, resulta
w'2 0

0 w"2

Es decir, en ambos casos, llevan los autovalores en la diagonal.

Finalmente, la ortogonalidad de los autovectores los habilita como base de representación de cualquier otro vector en el mismo espacio como combinación lineal los mismos.



Oscilaciones acopladas forzadas
Sean y F2, fuerzas aplicadas sobre las partículas 1 y 2 en la dirección y del primer diagrama. La descomposición en las coordenadas normales es
FX = F1 . ∂x1/∂X + F2 . ∂x2/∂X = F1 . α'1+ F2 . α'2 (13.29a,b)

y

FY = F1 . ∂x1/∂Y + F2 . ∂x2/∂Y = F1 . α"1+ F2 . α"2



al igual que se calcula cualquier fuerza generalizada (Capítulo "De Newton a Lagrange").

De modo que las ecuaciones de movimiento se escriben


X'' + w'2 X = FX (13.30a,b)
Y'' + w"2 Y = FY

y se trata como cualquier problema de osciladores independientes forzados (Capítulo 1).



Generalización a N osciladores.
Vamos a ver en primer lugar, que el problema de los osciladores acoplados no se limita a resortes o péndulos sino que es aplicable a todo sistema que se aparte levemente de su equilibrio. De este modo la teoría se aplica con éxito, por ejemplo, a las vibraciones moleculares en un sólido aunque la fuerza de interacción entre moléculas esté lejos de ser proporcional a la distancia. Sea, entonces, un sistema de N grados de libertad y tenga una configuración de equilibrio en qo.
En posiciones cercanas a la de equilibrio el potencial podrá desarrollarse según
V(q1, q2 ....qn) = V(qo) + ∑j ∂V/∂qj|qo (qj-qjo)+ 1/2 ∑jk2V/∂qj ∂qk|qo (qj-qjo) (qk-qko)
(13.35)

que simplifica a


V(u1, u2 ...un) = 1/2 ∑jk vjk uj uk (13.36)
donde los coeficientes vjk y las variables uj son
vjk =∂2V/∂qj ∂qk|qo y uj =(qj-qjo), (13.37a,b)
es decir desplazamientos desde el equilibrio. Usamos que qo es la posición de equilibrio, de modo que las derivadas primeras que formas el 2do término del potencial se anulan, y tiramos el V(qo) por ser constante lo que nos autoriza a eliminarla del potencial.
La energía cinética toma una forma similar:

Partimos de la expresión de la energía cinética en coordenadas generalizadas (.....),


T = 1/2 ∑jk ajk(q) q'j q'k (13.38)
donde se destaca la posible dependencia de los coeficientes ajk en las coordenadas. Al igual que con el potencial se desarrollan los coeficientes alrededor del punto de equilibrio y nos quedamos, en este caso, con el valor en la posición de equilibrio que llamaremos tjk = ajk(qo). Como, además, u'j= q'j
T = 1/2 ∑jk tjk u'j u'k . (13.39)

Así el Lagrangiano se escribe


L(u, u') = 1/2∑jk (tjk u'j u'k - vjk uj uk) (13.40)
y la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente a j, es
k (tjk u''k + vjk uk) = 0 (13.41)
habrá N de estas ecuaciones, j=1 a N, para las N coordenadas uk. Veamos soluciones en las que todos los uk oscilen con la misma frecuencia
uk = Ak . exp(iwt) (13.42)

que reemplazadas en (13.41) resulta un sistema de N ecuaciones en las amplitudes Ak


k (-tjk .w2 + vjk) Ak = 0 . (13.43)
Ahora, sin hacer las cuentas, el determinante de la matriz de los coeficientes de los Ak debe ser 0 para que la solución sea distinta de Ak=0 para todo k, dando lugar a un polinomio de grado N en w2 igualado a 0, del cual obtendremos N raíces para w2, llamémoslas wr2. Para cada uno de estos wr2 reemplazados en (13.43) se obtendrá un conjunto de Ak's distinto, que entonces habrá que denominar Akr. Estos son los elementos de un autovector Ar, las amplitudes (relativas) con que oscila la coordenada k en el "modo" en que todas las coordenadas oscilan con la frecuencia wr.

Se prueba --no acá-- a partir de que tjk y vjk son reales y simétricas que los w2 son reales positivos, los Akr son reales, y los Ar son "ortogonales" a través del "producto"


Ar * As =: ∑jk tjk Ajr . Aks = 0 si r =/ s . (13.44)
Usaremos el mismo producto para definir los versores en la dirección A, y los indicaremos por α , de modo que
α r * α s =: ∑jk tjk α jr . α ks = δ rs . (13.45)

Coordenadas normales
De este modo, el valor de todas las coordenadas qj o uj, en el estado en que todas las coordenadas oscilan con la frecuencia wr , puede escribirse
uj = α jr . Xr (13.46)
donde Xr es entonces un valor que al variar (oscila con frecuencia wr como veremos) produce la variación simultánea de todos los uj con la relación de amplitudes correspondiente a dicho modo, la del autovector Ar (o α r del cual difiere en solo una constante).

Si representamos los uj en ejes coordenados cartesianos, entonces los α r son direcciones espaciales, sus componentes son los cosenos de los ángulos que forma esa dirección (la r) con cada uno de los ejes uj. Los Xr dan la magnitud de un vector en la dirección α r y al multiplicarse por los cosenos como en (13.46) dan la proyección sobre cada uno de los ejes originales los valores uj.

Como los α r forman una base, pues son ortogonales y en número igual a la dimensión del espacio, N, entonces una configuración cualquiera de los uj, estará dada por un conjunto de valores Xr en la forma
uj = ∑r α jr . Xr , (13.47)
Así, especificar las Xr es dar la configuración del sistema en otro sistema de ejes, y se convierten entonces en un nuevo sistema de coordenadas, se las denomina "coordenadas normales".
La representación del sistema en las coordenadas normales
Reemplazando la última (13.47) en las expresiones de T y V podremos escribir el lagrangiano y las ecuaciones de movimiento en las coordenadas normales:
Comenzamos por V, de (13.36)
V = 1/2 ∑jk vjk uj uk = 1/2 ∑jk vjk (∑r α jr . Xr ) (∑s α ks . Xs ) (13.48)
sacamos afuera la sumatoria sobre r,
V = 1/2 ∑rsjk vjk α jr . α ks . Xs Xr , (13.49)
y usamos (13.43) en la forma
j vjk α jr = ∑j tjk . α jr wr2 . (13.50)

para reemplazar en la anterior y obtener


V = 1/2 ∑rsjk tjk α jr. α ks . wr2Xs Xr . (13.51)
Reconocemos ahora en la sumatoria sobre j y k, la condicion de ortonormalidad (13.45) que usamos para reescribir
V = 1/2 ∑rs δ rs . wr2Xs Xr

o

V= 1/2 ∑r wr2Xr2 (13.52)


donde se ve, de paso, que desaparecieron los productos cruzados de las coordenadas, desacoplándose el problema.
La obtención de la energía cinética en coordenadas normales es más breve:

Partimos de (13.39) y reemplazamos por las coordenadas normales (13.47),


T = 1/2 ∑jk tjk u'j u'k = T = 1/2 ∑jk tjk (∑r α jr . X'r) (∑s α ks . X's) (13.53)
Sacamos las sumatorias sobre r y s afuera,
T = 1/2∑rsjk tjk α jr α ks X'r X's (13.54)

y sumamos sobre j y k, usando la condición de ortonormalidad (13.45) resultando


T = 1/2∑rs δ rs X'r X's (13.55)

o

T = 1/2∑r X'r2 . (13.56)


Ahora el Lagrangiano es
L(X,X') = 1/2∑r (X'r2 - wr2Xr2) (13.57)
y, la ecuación de movimiento para cada coordenada Xr es
X''r + wr2Xr = 0 (13.58)
indicando que cada coordenada normal oscila con su frecuencia característica wr, como esperábamos.


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