Probabilidades de estado y tiempos medios de espera: M/D/1



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15.2 Teoría del muestreo


Supóngase que se tiene una muestra de n observaciones independiente e idénticamente distribuidas {X1, X2,. . . ,Xn} de una variable estocástica con el valor finito medio desconocido m1 y varianza finita ....2 (parámetros de población).

El valor medio y la varianza de la muestra se definen como sigue:



Los parámetros y s2 son funciones de una variable estocástica y, por lo tanto, son también variables estocásticas definidas por una distribución denominada distribución de muestreo. El parámetro es un estimador central del valor medio de población desconocido m1, es decir:



Asimismo, s2/n es un estimador central de la varianza desconocida del valor medio de la muestra , es decir:



Se describe la exactitud de la estimación de un parámetro de muestreo por medio de un intervalo de confianza, con al cual una determinada probabilidad especifica cómo la estimación se ubica en relación con el valor teórico desconocido. En este caso el intervalo de confianza del valor medio resulta:



donde: tn-1,1/2 es el percentil (1/2) superior de la distribución t con n1 grados de libertad. La probabilidad de que el intervalo de confianza incluya el valor medio teórico desconocido es igual a (1 ) y se denomina nivel de confianza. En el cuadro 15.1 figuran algunos valores de la distribución t. Cuando n se hace grande, la distribución t converge a la distribución normal y se puede utilizar el percentil de esta distribución. La hipótesis de independencia se satisface para mediciones tomadas en diferentes días pero no, por ejemplo, para mediciones sucesivas por el método de exploración en un intervalo de tiempo limitado, pues la cantidad de canales ocupados en un instante dado estará correlacionada con el número de circuitos ocupados en la exploración previa y en la siguiente. En las secciones próximas se calculará el valor medio y la varianza de las mediciones de tráfico durante, por ejemplo, una hora. Este valor agregado para un determinado día puede ser utilizado entonces como simple observación en las fórmulas precedentes, donde la cantidad de observaciones será típicamente el número de días que se mide.





Figura 15.1 – Observación de un proceso de tráfico por un método de medición continua y por el método de exploración con intervalos de barrido regulares. El método de exploración es suficiente para observar los cambios de estado

Leyendas de la figura 15.1

1) Proceso de tráfico continuo

2) Tiempo

3) Proceso de tráfico discreto

4) Barrido

5) Método de exploración
Cuadro 15.1 – Percentiles de la distribución t con n grados de libertad. Un valor específico de corresponde a una masa de probabilidad /2 en ambos extremos de la distribución t. Cuando n es grande, se pueden utilizar los percentiles de la distribución normal


n

= 10%

= 5%

= 1%

1

6,314

12,706

63,657

2

2,920

4,303

9,925

5

2,015

2,571

4,032

10

1,812

2,228

3,169

20

1,725

2,086

2,845

40

1,684

2,021

2,704



1,645

1,960

2,576


Ejemplo 15.2.1: Intervalo de confianza para congestión de llamadas

En un grupo troncal de 30 líneas de enlace (canales) se observa el resultado de 500 tentativas de llamada. Esta medición se repite 11 veces y se obtienen los siguientes valores de congestión de llamadas (en porcentaje):

9,2; 3,6; 3,6; 2,0; 7,4; 2,2; 5,2; 5,4; 3,4; 2,0; 1,4

La suma total de las observaciones es 45,4 y el total de los cuadrados de las observaciones es 247,88 . Aplicando la ecuación (15.1) = 4,1273 % y con la ecuación (15.2)


s2 = 6,0502 (%) 22. Al nivel de 95% el intervalo de confianza resulta, utilizando los valores t del cuadro 15.1: (2,475,78). Cabe señalar que las observaciones se obtienen simulando un tráfico PCTI de 25 erlang, que se ofrece a 30 canales. Conforme a la fórmula B de Erlang la probabilidad teórica de bloqueo es de 5,2603 %. Este valor se encuentra dentro del intervalo de confianza. Si se desea reducir el intervalo de confianza en un factor de 10, se deberán efectuar 100 observaciones veces más (véase la fórmula 15.5), es decir 50 000 por mediciones (subejecución). Se lleva a cabo esta simulación y se observa una congestión de llamadas igual a 5,245 % y un intervalo de confianza (5,093   5,398). Esta simulación requiere unos 10 segundos en un puesto de trabajo.
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