Probabilidades de estado y tiempos medios de espera: M/D/1



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15.3 Mediciones continuas en un periodo ilimitado


Las mediciones de intervalos de tiempo a través de métodos de medida continuos sin interrupciones son fáciles de efectuar mediante la teoría de muestreo descrita en el § 15.2

Para la medición del volumen de tráfico o de la intensidad de tráfico se pueden aplicar las fórmulas (3.46) y (3.48) para una suma estocástica. Esto es en términos generales, siendo la única restricción la independencia estocástica entre X y N. En la práctica, esto significa que los sistemas no deben tener congestión. En general se tendrán bajos porcentajes de congestión y aun en el caso más desfavorable puede suponer independencia. Sin duda, el caso más importante es un proceso de llegada de Poisson con intensidad . Se tendrá entonces una suma estocástica (véase el § 3.3). Para el proceso de llegada de Poisson, cuando se considera un intervalo de tiempo T, se tendrá:



y, por tanto, resulta:



donde m2,t es el segundo momento (no central) de la distribución de tiempo de ocupación, y t es el factor de forma de Palm de la misma distribución:






Figura 15.2 – Cuando se analizan las mediciones de tráfico se pueden distinguir dos casos:
a) Mediciones en un periodo de tiempo ilimitado. Toda llamada iniciada durante
el periodo de medición contribuye con su duración total. b) Mediciones en
un periodo de tiempo limitado. Cada llamada contribuye con su tiempo de
ocupación que puede estar establecido dentro del periodo de medición.
Los segmentos que identifican los tiempos de ocupación que
contribuyen con las mediciones se indican
en la figura en línea llena

Leyendas de la figura 15.2

1) a: Periodo de medición ilimitado

2) Tiempo

3) b: Periodo de medición limitado

La distribución de ST será en este caso una distribución de Poisson compuesta (Feller, 1950 [29]).

La fórmula corresponde a un volumen de tráfico (por ejemplo, erlang-horas). Para muchas aplicaciones, tales como dimensionamiento, es importante determinar la cantidad media de canales ocupados, es decir intensidad (régimen) de tráfico = tráfico por unidad de tiempo (m1,t =  1,  = A), cuando se establece el tiempo medio de ocupación como unidad de tiempo:

Estas ecuaciones son válidas para distribuciones arbitrarias del tiempo de ocupación. Las ecuaciones (15.8) y (15.9) fueron deducidas originalmente por C. Palm (1941 [80]). En (Rabe, 1949 [88]) se publicaron las fórmulas para los casos especiales  = 1 (tiempo de ocupación constante) y t = 2 (tiempo de ocupación distribuidos exponencialmente).

Las ecuaciones anteriores se utilizan para todas las llamadas que llegan dentro de intervalo T cuando se mide la duración total de todos los tiempos de ocupación sin importar el tiempo de permanencia (véase la figura 15.2a).

Ejemplo 15.3.1: Exactitud de una medición

Se hace notar que siempre se obtiene el valor medio correcto de la intensidad de tráfico (15.8). La varianza, sin embargo, es proporcional al factor de forma t. Para algunos casos comunes de distribuciones del tiempo de ocupación se obtiene la siguiente varianza de la intensidad de tráfico medida.

Constante:

Distribución exponencial:

Observada (figura 4.3):

Observando el tráfico telefónico, se encuentra a menudo que t es considerablemente más grande que el valor 2 (distribución exponencial), que se presume que es válido en muchos modelos clásicos de teletráfico (véase la figura 4.3). Por tanto, la exactitud de una medición es menor que la que figura en muchos cuadros. Sin embargo, esto se compensa por la hipótesis que los sistemas son no bloqueantes. En un sistema con bloqueo la varianza resulta menor debido a la correlación negativa entre los tiempos de ocupación y el número de llamadas.



Ejemplo 15.3.2: Exactitud relativa de una medición

La exactitud relativa de una medición viene dada por la siguiente relación:



coeficiente de variación

De la misma se observa que si t = 4, se deberá medir dos veces en un periodo para obtener la misma fiabilidad de una medición como para el caso de tiempos de ocupación con distribución exponencial.

Para un determinado intervalo de tiempo se observa que la exactitud de la intensidad de tráfico cuando se mide un pequeño grupo de enlace es mucho mayor que cuando se mide un grupo de enlace grande, en razón que la exactitud sólo depende de la intensidad de tráfico A. Cuando se dimensiona un pequeño grupo de enlace, un error en la estimación del tráfico del 10% tiene mucho menos influencia que el mismo porcentaje de error en un grupo de enlace grande (véase el § 7.5.1). Por tanto, se medirá el mismo intervalo de tiempo en todos los grupos de enlace. En la figura 15.5 la exactitud relativa para una medición continua se indica con la recta h = 0.

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