Probabilidades de estado y tiempos medios de espera: M/D/1



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15.4 Métodos de exploración en un periodo ilimitado


En esta sección sólo se considerarán intervalos de exploración regulares (constantes). El método de exploración se aplica, por ejemplo, a mediciones de tráfico, tarificación de llamadas, simulaciones numéricas, y control de procesador. Por el método de exploración se observa una distribución de tiempo discreta para el tiempo de ocupación que, en tiempo real, es generalmente continuo.

En la práctica, se determina por lo general una distancia constante h entre los instantes de exploración, y se encontrará la siguiente relación entre el intervalo observado y el tiempo real (véase la figura 15.3):



Tiempo observado

Tiempo real

0 h

0 h  1h

1 h

0 h  2h

2 h

1 h  3h

3 h

2 h  4h

. . .

. . .

Se observa que hay una superposición entre los intervalos continuos, de modo tal que la distribución discreta no se puede obtener por la simple integración de un intervalo continuo sobre un intervalo fijo de longitud h. Si los tiempos reales de ocupación tienen una función de distribución F(t), se observará la distribución discreta siguiente (Iversen, 1976 [38]):





Figura 15.3 – Con el método de exploración un intervalo continuo se transforma
en un intervalo discreto. La transformación no es única (véase el § 15.4)

Leyendas de la figura 15.3

1) Número de barridos observado

2) Intervalo para el tiempo real (barrido)



Interpretación: Se supone que el tiempo de llegada de la llamada es independiente del proceso de exploración. Por tanto, la función de densidad del intervalo desde el instante de llegada de la llamada al tiempo de la primera exploración está distribuido uniformemente y es igual a (1/h) (véase el § 6.3.3). La probabilidad de observar instantes de barrido cero durante el tiempo de ocupación de la llamada se representa por p(0) y es igual a la probabilidad que la llamada termine antes del tiempo del barrido siguiente. Para un valor fijo del tiempo de ocupación t esta probabilidad es igual a F(t)/h, y para obtener la probabilidad total se integran todos los valores t posibles (0  t < h) y se aplica la ecuación (15.10). De manera similar se extrae p(k) con la ecuación (15.11).

Por integración parcial se puede determinar que para cualquier función de distribución F(t) se observará siempre el valor medio correcto:

Cuando se utiliza la tarificación de Karlsson se llegará tasará siempre el monto correcto.

Para intervalos de ocupación con distribución exponencial, F(t) = 1e-t, se observará una distribución discreta denominada distribución de Westerberg (Iversen, 1976 [38]):

Esta distribución puede tener el valor medio y el factor de forma siguientes:



El factor de forma es igual a uno más el cuadrado de la exactitud relativa de la medición. Para una medición continua el factor de forma es 2. La contribución  2 es debida a la influencia del principio de medición.

El factor de forma es una medida de la exactitud de las mediciones. La figura 15.4 ilustra cómo depende el factor de forma del tiempo de ocupación con distribución exponencial observado en la duración del intervalo de exploración (15.16). Con mediciones continuas se obtiene una muestra ordinaria y por el método de exploración se obtiene una muestra de una muestra, de modo tal que hay incertidumbre en razón del método de medición así como del tamaño limitado de la muestra.

La figura 5.2 muestra un ejemplo de la distribución de Westerberg. Es en particular la clase cero que se aparta de lo que se podría esperar de una distribución exponencial continua. Si en la expresión para (15.9) se inserta el factor de forma, se obtiene entonces, fijando el tiempo medio de ocupación como unidad de tiempo m1,t = 1/ = 1, las siguientes estimaciones de la intensidad de tráfico cuando se emplea el método de exploración:



Con el método de medición continuo la varianza es 2A/T. Esto también se obtiene dejando h  0.

En La figura 15.5 se muestra la exactitud relativa del volumen de tráfico medido para una medición continua (15.8) y (15.9), así como para el método de exploración (15.17). La ecuación (15.17) fue formulada por (Palm, 1941 [80]), pero recién resultó conocida cuando fue divulgada por W.S. Hayward Jr. (1952 [35]).

Ejemplo 15.4.1: Principios de tarificación

Para la tarificación de llamadas se aplican varios principios. Además, el régimen de tasación varía, por lo general, durante las 24 horas para influenciar los hábitos del abonado. Entre los principios se puede mencionar:

a) Tasa fija por llamada. Este principio se aplica a menudo en sistemas manuales para llamadas locales (tarifa única)

b) Tarificación de Karlsson. Esto corresponde al principio de medición que se trata en esta sección debido que el tiempo de ocupación se fija al azar conforme a los impulsos de tasación regulares. Este principio ha sido aplicado en Dinamarca en centrales de tipo de barras cruzadas.

c) Tarificación de Karlsson modificada. Se puede, por ejemplo, añadir un impulso adicional al comienzo de la llamada. En sistemas digitales en Dinamarca se aplica una tasa fija por llamada además de una tasa proporcional a la duración de la llamada.

d) El comienzo del tiempo de ocupación se sincroniza con el proceso de exploración. Esto se aplica, por ejemplo, para llamadas atendidas por operador y en teléfonos de alcancía.


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