Probabilidades de estado y tiempos medios de espera: M/D/1



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13.6 Sistema de puesta en fila con un solo servidor: GI/G/1


En el § 13.3 se indicó que el tiempo medio de espera para todos los clientes en un sistema de puesta en fila M/G/1 viene dado por la fórmula de Pollaczek-Khintchine:

donde es el factor de forma de la distribución del tiempo de ocupación.

Se han analizado anteriormente los siguientes casos:

M/M/1 (§ 12.2.3): = 2



M/M/1 (§ 13.5.3): = 1

Esto indica que cuanta mayor regularidad haya en la distribución del tiempo de ocupación, menor será el tráfico del tiempo de espera. (Para sistemas de pérdidas con accesibilidad limitada es el caso opuesto: cuanto mayor sea el factor de forma menor será la congestión.)

En sistema con llegadas que no siguen el proceso de Poisson, los momentos de orden superior también tendrán influencia en el tiempo medio de espera.

13.6.1 Resultados generales


Hasta este momento se ha tomado como hipótesis general que el proceso de llegada es un proceso de Poisson. Para otros procesos de llegada raramente es posible encontrar una expresión exacta para el tiempo medio de espera excepto en el caso en el que los tiempos de ocupación tienen distribución exponencial. En general, se puede requerir que el proceso de llegada o el bien el proceso de servicio sea tipo Markovian. Hasta el presente no hay fórmulas de uso general para, por ejemplo, M/G/n.

Para GI/G/1 es posible determinar los límites superiores teóricos para el tiempo medio de espera. Representando la varianza de los tiempos entre llegadas por va y la varianza de la distribución del tiempo de ocupación por vd, la desigualdad de Kingman (1961) indica un límite superior para el tiempo medio de espera:



La fórmula muestra que son las variaciones estocásticas que producen los tiempos de espera.

La fórmula (13.66) permite determinar el límite teórico superior. Una estimación razonable del tiempo medio de espera real se puede obtener mediante la aproximación de Marchal (Marchal, 1976 [78]):

donde a es el tiempo medio entre llegadas(A = s/a).

Esta aproximación es un factor de ajuste de la desigualdad de Kingman de modo que concuerda con la fórmula de Pollaczek-Khintchine para el caso M/G/1.

Como ejemplo del proceso de llegada distinto del proceso de Poisson se analizará el sistema de puesta en fila GI/M/1, donde la distribución de los tiempos entre llegadas es una distribución general dada por la función de densidad f(t).


13.6.2 Probabilidades de estado: GI/M/1


Si el sistema se considera como un punto arbitrario en el tiempo, las probabilidades de estado no se describirán entonces por un proceso de Markov, pues la probabilidad de una llegada dependerá del intervalo de tiempo desde la última llegada.

Sin embargo, si el sistema es considerado inmediatamente antes (o después) de una época de llegada, habrá entonces independencia en el proceso de tráfico pues los tiempos entre llegada son estocásticos independiente de los tiempos de ocupación distribuidos exponencialmente. Las épocas de llegada son puntos de equilibrio (puntos de regeneración) (véase el § 5.2.2), y se analizará la denominada cadena de Markov incorporada.

La probabilidad que inmediatamente antes de una época de llegada se observe el sistema en estado j se representa por (j). En equilibrio estadístico se puede demostrar que se tendrá el siguiente resultado (D.G. Kendall, 1953 [62]):

donde es la raíz real positiva que satisface la ecuación:



Las probabilidades en régimen permanente se pueden obtener examinando dos épocas de llegada sucesivas t1 y t2 (similar a las ecuaciones de estado de Fry, véase el § 13.5.5).

Como el proceso de salida es un proceso de Poisson con intensidad constante , cuando hay clientes en el sistema, la probabilidad p(j) que j clientes completen el servicio entre dos épocas de llegada se puede expresar por el número de eventos en un proceso de Poisson durante un intervalo estocástico (tiempo entre llegadas). Se pueden formular las siguientes ecuaciones de estado:

La condición de normalización es como siempre:



Se puede demostrar que la distribución geométrica indicada anteriormente es la única solución a este sistema de ecuaciones (Kendall, 1953 [62]).

En principio, el sistema de puesta en fila de espera GI/M/n se puede resolver de la misma manera. La probabilidad p(j) resulta más complicada pues la velocidad de salida depende del número de canales ocupados.

Se debe señalar que (i) no es la probabilidad de encontrar al sistema en el estado i en un punto arbitrario del tiempo (promedio de tiempo), sino la probabilidad de encontrar el sistema en el estado i inmediatamente antes de una llegada (promedio de llamadas).


13.6.3 Características del sistema GI/M/1


La probabilidad de servicio inmediato resulta:

p {inmediato} = (0) = 1  (13.72)

La probabilidad correspondiente de estar en espera resulta:



D = p {espera}= (13.73)

El promedio del número de servidores ocupados en un punto aleatorio del tiempo (promedio temporal) es igual al tráfico transportado (= al tráfico ofrecido A < 1).

El promedio del número de clientes en espera, inmediatamente antes de la llegada de un cliente, se obtiene a través de las probabilidades de estado:

El tiempo medio de espera para todos los clientes:

El promedio del número de clientes en el sistema antes de una época de llegada es:

El promedio del tiempo de espera para todos los clientes resulta entonces:



El promedio de la longitud de la fila de espera tomado en todo el eje del tiempo (longitud de fila de espera virtual) resulta entonces (teorema Little):



El tiempo medio de espera para los clientes, que obtienen tiempos de espera, resulta:





Ejemplo 13.6.1: Tiempos medios de espera GI/M/1

Para M/M/1 se encuentra que = m = A. Para D/M/1 = d se obtiene de la ecuación:



donde d debe estar entre (0,1). Se puede demostrar que 0 < d < m < 1 . Así, el sistema de puesta en fila de espera D/M/1 tendrá siempre menos tiempo medio de espera que M/M/1.

Para A = 0,5 erlang se obtienen los siguientes tiempos medios de espera para todos los clientes (13.76):

M/M/1: = 0,5, W = 1, w = 2.

D/M/1: = 0,2032, W = 0,2550, w = 1,3423.

donde el tiempo medio de ocupación se utiliza como unidad de tiempo ( = 1). El tiempo medio de espera está lejos de ser proporcional con el factor de forma de la distribución del tiempo entre llegadas.


13.6.4 Distribución del tiempo de espera: GI/M/1, FCFS


Cuando un cliente llega a un sistema de fila de espera, el número de clientes en el sistema está distribuido geométricamente, y el cliente, por tanto, bajo la hipótesis que tiene un tiempo de espera positivo, debe esperar un número de fases exponenciales distribuidas geométricamente. Esto dará por resultado un tiempo de espera con un parámetro dado en la ecuación (13.78), cuando el criterio de puesta en fila es FCFS (véase el § 12.4 y la figura 4.9).
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