Problema #1 Sabiendo que, hallar el valor de. SolucióN: El polinomio de grado cuarto debe poder expresarse en función del polinomio cúbico. Haciendo la división obtenemos: = (X – 2)



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Problema #1

Sabiendo que , hallar el valor de .



SOLUCIÓN:

El polinomio de grado cuarto debe poder expresarse en función del polinomio cúbico. Haciendo la división obtenemos:



= (x – 2)( + 6

Puesto que: , entonces = 6.



Problema #2

Utilizando el número formamos el número , que tiene k ceros intermedios, con . Hallar k para que N tenga la mayor cantidad posible de factores 2, en su factorización prima. ¿Cuál es esa cantidad máxima?



SOLUCIÓN:

Puede reescribirse como:



= =

=

  1. Si k + 7 > 20:

K + 7 > 20  k > 13, M termina en 1 y el 2 aparece 20 veces.

  1. Si k + 7 = 20: k = 13 y

M termina en 6 y 2 aparece 21 veces, ya que termina en 25.

  1. Si k + 7 < 20: )

M es impar y 2 aparece k + 7 veces, o sea menos de 20 veces.

En conclusión, k = 13 y el 2 aparece 21 veces.



Problema #3

Sean a, b, c números reales tales que , , y . Hallar el valor de



SOLUCIÓN:

Vamos a suponer que a, b, c son las raíces de una ecuación cúbica, la que sabemos puede escribirse como:



.

Comencemos por calcular las partes que nos faltan. Sabemos que:



Sustituyendo: - 0 = 2 (ab + bc + ca)

Es decir:

Ahora queremos hallar el valor de abc:







Puesto que a + b + c = 14, también a + b = 14 – c. Sustituyendo según convenga:



2744 = 2015 + 42ab – 3abc + 42ac + 42bc; 729 = 42(ab + bc + ca) – 3abc

729 = 0 – 3abc = - 3abc - abc = - 243.

Luego, la ecuación buscada quedaría:



Como a, b, c son raíces de esta ecuación, cumplen:







Multiplicando la primera ecuación por a, la segunda por b y la tercera por c:







Sumando todas:





= 14(-47) = - 658

También podría haberse intentado trabajar con , pero es muchísimo más largo y hay que hacer factorizaciones apropiadas.



Problema #4

Tenemos un triángulo dado, cuyo perímetro es numéricamente igual a su área. ¿Cuál es el radio del círculo inscrito a este triángulo?



SOLUCIÓN:

Dibujamos un triángulo cualquiera ABC, con AC sobre la horizontal. Marcamos además el incentro O, centro del círculo inscrito. Desde O trazamos los radios r, perpendiculares a cada uno de los lados AB, AC y BC. Así tenemos que:

(ABC) = (AOB) + (AOC) + (BOC) = AB*r / 2 + AC*r / 2 + BC*r / 2

(ABC) = (AB + AC + BC)*r / 2 = pr/2

Ya que el área es igual al perímetro, tenemos: p = pr/2 - 1 = r/2

Luego: r = 2.



Problema #5

Encuentra el mayor número de 7 cifras distintas, que es múltiplo de cada uno de sus dígitos.



SOLUCIÓN:

Sea N el número de 7 dígitos distintos que es múltiplo de cada una de sus cifras.

Lo primero que debemos determinar es cuáles son los 7 dígitos que van a ser parte de nuestro número. Deberemos descartar 3 dígitos de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Obviamente el primero que no va es el 0.

El siguiente es el 5, porque si N fuera múltiplo de 5, debiese terminar en 0 o 5. No puede ser el 0, por lo que N terminaría en 5. Eso quiere decir que N es impar, pero como N tiene que ser divisible para sus dígitos, éstos solamente podrían ser impares. Entonces, ¡necesitamos 7 dígitos impares!. Como no los hay, N no contiene al 5.

Ya solo nos queda descartar un dígito más de {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}.

Notamos que nuestro número está “condenado” a tener, al menos un múltiplo de 3 (3, 6 o 9), por lo que la suma de las cifras tendría que ser múltiplo de 3.

Sea x el dígito que vamos a descartar de {1, 2, 3, 4, 6, 7. 8, 9}. Eso quiere decir que la suma de las cifras de N es igual a 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 – x = 40 – x. Así, 40 – x tiene que ser múltiplo de 3. Eso se cumple para .

Esto significa que el 9 está en nuestro número. Por tanto, la suma de las cifras de N tiene que ser múltiplo de 9. Eso ocurre solo para x = 4, para que la suma de sus cifras sea 36.

Luego, N consiste de las cifras {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9}.

Ahora solo nos toca ordenar las cifras para que sea el mayor número posible.

¿Podrá comenzar N con 987? Veamos.

Supongamos que N = (987abcd). Como N es divisible para 8, tenemos que (bcd) tiene que ser múltiplo de 8 y b, c, d son algunos de los números {1, 2, 3, 6}

Tenemos los siguientes múltiplos de 8:

(bcd) = 312 - N = 9876312, que no cumple porque no es múltiplo de 7

(bcd) = 216 - N = 9873216, que no cumple porque no es múltiplo de 7.

(bcd) = 136 - N = 9872136, que no cumple porque no es múltiplo de 7.

(bcd) = 632 - N = 9871632, que no cumple porque no es múltiplo de 7.

Luego, es imposible que empiece por 987.

Vamos a buscar con 986, y ya que queremos el más alto, hagámoslo con 9867. Las cifras finales serían {1, 2, 3} en algún orden. Pero el único múltiplo de 8 con esas cifras es 312. Nuestro número sería 9867312.

Verificamos las distintas divisibilidades y las cumple todas. Por tanto, 9867312 es el mayor número que satisface los requisitos.



Problema #6

Hay 12k personas que asisten a una conferencia. Cada una de ellas estrecha las manos de 3k + 6 personas, donde cualquiera dos de ellas estrecha sus manos con el mismo número de personas. ¿Cuántas personas hay en la conferencia?



SOLUCIÓN:

Vamos a usar conocimientos de Teoría de Grafos.

Supongamos que dos personas cualesquiera estrechan las manos de n personas. Para una persona a, denotaremos por A al conjunto de todas las personas que estrechan sus manos sus manos con a y sea |A| su cardinal. Y sea B el conjunto de las otras personas, y |B| su cardinal.

Sabemos por las condiciones del problema que |A|= 3k + 6 y |B|= 9k – 7.

Para las n personas que estrechan sus manos con a,b están todas en A. Por tanto, b estrecha manos con n personas en A y 3k + 5 – n personas en B.

Para n personas que estrechan sus manos con a, c están todas en A. Luego, el número de personas en A que han estrechado sus manos con alguien de B son:

(3k + 6)(3k + 5 – n) = (9k – 7)n; (3k + 6)(3k + 5) – (3k + 6)n = (9k – 7)n

(3k + 6)(3k + 5) = (3k + 6 + 9k – 7)n



Para dejar todo en términos de 12k en cada paréntesis, multiplicamos dos veces por 4:





Obviamente: (3, 12k – 1) = 1. O sea, 3 y 12k – 1 son coprimos.

Luego: (12k – 1) | 25*7

Como cuando dividimos 12k – 1 para 4 deja residuo 3, entonces:

12k – 1 = 7; 12k – 1 = 5*7; 12k – 1 =

De todas ellas, la única solución entera es 12k – 1 = 35; 12k = 36; k = 3

Luego, n = 6.

Estamos en capacidad de construir el grafo con 36 vértices. Cada punto incide en 15 aristas, y para cualquier par de vértices, hay 6 adyacentes a ellos.

Obviamente, podríamos usar 6 grafos completos . Dividimos los 36 vértices en 6 equipos y etiquetamos los vértices en el mismo equipo. Obtenemos una matriz cuadrada de 6x6:

1 2 3 4 5 6

6 1 2 3 4 5

5 6 1 2 3 4

4 5 6 1 2 3

3 4 5 6 1 2

2 3 4 5 6 1

Para cualquier “punto” de la matriz cuadrada, solo se conecta con 15 “puntos” que están en la misma fila, en la misma columna o tienen la misma etiqueta.



Es obvio que para cualquier par de personas, hay 6 personas que se han estrechado las manos con ellos.

RECUERDA: En todos los problemas, una respuesta sin demostración, o sin una JUSTIFICACION ADECUADA, recibirá un puntaje o (CERO)


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