Problemas de compuertas, vertedores y salto hidráulico: Tema 1 La Compuerta



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Problemas de compuertas, vertedores y salto hidráulico:
Tema 1) La Compuerta:

Figura 1. Alturas que intervienen en la descarga (Q) de una compuerta sumergida incluyendo el salto hidráulico ys. Si ys = y3 la descarga es libre y el salto es claro. Si ys = y3 la descarga es libre y el salto se corre hacia la derecha del punto 2.


La profundidad mínima del chorro a la salida de la compuerta se alcanza a una distancia a/Cc según Sotelo, en este punto y2 se calcula como: . En teoría, si en el punto 2 se genera el salto el valor de ys tiene la máxima altura.
Teoría de la descarga Q de la compuerta: Para compuertas planas o radiales a la salida de la corriente de agua Q se produce en un hoyo rectangular que tiene un área de conducción , bajo condiciones ideales (z1 = z2, h12 = 0) y la definición del gasto unitario q = Q/b, la solución al problema del calculo de Q se obtiene: a) plan-teando una ecuación de Bernoulli de 1 a 2, b) y planteando la ecuación de Momentum de 2 a 3. El resultado es;

Es conveniente señalar que en el punto 2, hay dos 2 alturas; ya y y2. Por la profundidad y2 sale el chorro de agua y entre ya y y2 se genera una zona de estancamiento.

Si la descarga en la compuerta es libre entonces solo se necesita la ec. de Bernoulli (1) para resolver el problema de q = Q/b ya que para este caso: ya = y2.


La dificultad: 1) numérica para la solución del sistema de ecuaciones (1 y 2) y 2) de medir la contracción de Cc y el coeficiente de velocidad Cv [K = 1/Cv2 – 1] en un laboratorio: condujeron de medir el coeficiente de descarga Cd = f(Cc,Cv,y1/a,y3/a) que contiene todas las variables de la función f(….) el cual resulta más o menos sencillo de medir y es más exacto y con esto el problema de calcular q es redujo a la siguiente ecuación y graficas experimentales como la figura 6.15 y 6.16 (tomadas de Sotelo).
(3)


Para un análisis más detallado sobre la compuerta y los vertedores en un libro de texto, la referencia es; Hidráulica General, Sotelo A.G., para más detalle se debe consultar, el texto de Henderson F.M, investigaciones del USBR, USACE, ASCE y otros.
El coeficiente de contracción Cc: Para el caso de compuertas planas verticales (θ = 90º) el valor de Cc se ubica de 0.60 a 0.63 para este escrito se asume que Cc es una constante de Cc = 0.62. Valores menores de 0.60 aparecen en la grafica de Cofré para relaciones de profundidad y3/y1 > 0.93.
Tema 2) El salto hidráulico.
El salto se produce cuando una corriente de agua tiene un Número de Froude, Fr2 > 1 y aguas abajo por X motivo la corriente de agua tiene un Fr2 < 1. Para que un flujo tome un Fr2 > 1 lo más común es que esto suceda a la salida de una compuerta, al pie de un cimacio, o al pie de una rápida (un canal con una pendiente de fondo So > Sc, donde Sc es la pendiente critica) a la caída de un vertedor el también se puede producir un salto pero su calculo es a través de resultados experimentales (Ver Henderson F.M, Open Channel Flow).
El problema del cálculo del salto hidráulico se obtiene, para el caso de la compuerta de la Figura 1 con descarga libre (y2 = ya )de plantear la ecuación de Momentum (2) entre las secciones 2 y 3 (y3 = ys) el resultado para el cálculo de ys es:

Existen varias formulas obtenidas por observación, por sencillez se usara:


Ls = 6(ys – y2) (5.1)
Una explicación más detallada del salto a nivel de libro de texto se encuentra en Gardea H., Hidráulica de Canales o en Sotelo A.G, Hidráulica de Canales.
Aspectos prácticos: Cuando la corriente de agua sale de una compuerta por lo común al final tendrá que descargar en un canal de tierra que es erosionable y por lo común la velocidad en la sección 2 V2 será mayor a la velocidad permisible del canal Vp y por lo tanto si el flujo descarga directamente en el canal de tierra este se destruye, por esto, se debe de reducir la V2 y la forma más practica es generando artificialmente el salto, para reducir velocidad.
Las formas de generar artificialmente el salto por lo común son:


  1. Colocar aguas abajo de la compuerta un vertedor de pared delgada (como se indica en la figura 1) o de pared gruesa.

  2. Construir aguas abajo una transición vertical en el fondo del canal que se llaman tanques de amortiguación o lagunas de disipación.

En los problemas solo se usara el vertedor de pared delgada y además por cuestiones practicas solo se usaran en los ejemplos profundidades en el deposito y1 de 1 a 3.0m y en compuertas comerciales con ancho b de, 1 pie, 2 y 3 pies, con el objetivo de señalar que no se necesitan grandes cargas de altura y1 para generar Números de Froude, Fr2 > 1.


Tema 4) El vertedor o vertedero.

Figura 2. Una pared que represa la corriente de agua y altera la altura en el canal aguas arriba se llama vertedor. Eliminando las contracciones horizontales la figura muestra las condiciones más generales de operación de la pared: estas son:




  1. Si el espesor e del vertedor es pequeño se denomina de pared delgada.

  2. Si el espesor e del vertedor es grande se denomina de pared gruesa.

  3. Si h’ < 0 se llama con descarga libre.

  4. Si h’ > 0 se llama con descarga sumergida.

Para un vertedor con e pequeña y con h’ < 0 y considerando que la velocidad aguas arriba es V1 = 0, la ecuación de Bernoulli, en forma teórica, indica que la velocidad de la corriente agua es: , o sea, que en el punto 2 la velocidad es cero (v2 = 0) y en el 3 es, , o sea, es la máxima.


Para calcular el flujo de agua Q entre los puntos 1 y 2 que tienen una velocidad variable v se recurre al calculo diferencial al expresar a Q como: dQ = v·dA y al integrar se obtiene la respuesta.
Si la forma del vertedor es un trapecio (vertedor Cipolleti) el diferencial de área dA se expresa como: dA/1 = T·dy = (b + 2·m·y)dy, donde, T = es el ancho de la superficie, b = es el ancho del fondo y m = pendiente del talud.
Cambiando a y por h, esto es h = y, el cálculo de Q a través de la integral resulta:

Multiplicando por (2g)1/2 el resultado obtenido de la integración para un vertedor trapecial obtiene además la formula para los vertedores rectangulares y triangulares como se indica en las siguientes 2 formulas.


sección rectangular del trapecio
sección triangular del trapecio
La raíz de es la velocidad máxima en la cresta del vertedor y al multiplicar por los coeficientes 2/3 u 8/15 se obtiene la velocidad promedio, [b·h] y [m·h2] son el área del rectángulo y de los triángulos.
El coeficiente μ: Los resultados entre {..} arrojan el valor teórico de Q al no incluir los efectos de la contracción vertical de la altura h en la cresta del vertedor y de la contracción horizontal, por esto, las formulas se deben de multiplicar por un coeficiente experimental μ o Cd.
Vertedor triangular: uno de los usos del vertedor es medir el gasto Q y el vertedor triangular es muy exacto, en particular de m = 1 o de 90º. Si el vertedor se usa para medir Q la descarga debe ser libre (h’ < 0) y además, de pared delgada. Una buena cantidad de valores de μ se encuentran en Hidráulica General capitulo 7 de Sotelo A.G.
Vertedor rectangular: este es el más usual y también se usa para elevar la carga de altura y1 aguas arriba de la estructura. El vertedor puede ser de pared gruesa (fabricado con mampostería) que es muy común y puede operar con descarga sumergida(h’ > 0).
Lo anterior conlleva a tener otra formula para los de pared gruesa y diversos coeficientes, sin embargo, Sotelo A.G propone una solución basada en 2 coeficientes adicionales a μ y en una formula muy compacta:
formula en metros (6)
Donde q = Q/b, 2.952 = 2/3·19.621/2 y:

  1. ε1 = es el coeficiente al considerar que el vertedor de pared gruesa.

  2. ε2 = es el coeficiente al considerar el efecto de sumersión h’ en la descarga.

La formula propuesta para μ proviene de los datos de Rehbock y según Henderson F.M se puede reducir a:



(7)

(8)

Figura 3. ε2 = coeficiente de sumersión según Domínguez.

Los datos de la figura 3 se pueden ajustar con un error de hasta ±1.5% con la ecuación anterior.
Tema 5) Problemas
Tema 5.1) Problemas de revisión: este tipo de problema se enfoca a calcular el gasto q si todas las demás variables son conocidas, o sea, solo es cuestión de sustituir valores en las formulas y de búsqueda en las graficas, sin embargo, estos problemas son necesarios como entrenamiento.
Tema 5.1.1) Problemas de compuertas: ver Figura 1.
P1) Aguas arriba de una compuerta se tiene una carga de altura y1 de 1.4m, la compuerta tiene un ancho de 0.6m y un abertura de 0.2 m, determine: a) el valor de Q si la descarga es libre, b) la altura del salto hidráulico yS, c) el valor de Q si aguas abajo se tiene una altura y3 = 1 m, o sea, la descarga es sumergida.

Resolución a). para descarga libre se usa la figura 6.15 y se necesita conocer el valor de y1/a = 1.4/0.2 = 7, el coeficiente de descarga Cd para la curva de 90º es de alrededor de 0.585 y por lo tanto el gasto q = Q/b según (3) es:


q = 0.585·0.2·(19.62·1.4)1/2 = 0.613 m2/s y Q = b·q = 0.6·0.613 = 0.368 m3/s
Resolución b). La altura y2 = Cc·a = 0.62·0.2 = 0.124m, el Número de Froude;

Resolución c). para descarga sumergida se usa la figura 6.16 y se necesita conocer el valor de y1/a = 1.4/0.2 = 7 y y3/a = 1.0/0.2 = 5, el coeficiente de descarga Cd para 7 en el eje horizontal corta la curva de curva y3/a = 5 aproximadamente para un Cd = 0.37 y por lo tanto el gasto q = Q/b según (3) es:
q = 0.37·0.2·(19.62·1.4)1/2 = 0.388 m2/s y Q = b·q = 0.6·0.388 = 0.233 m3/s
Problemas 2 al 6) Estos problemas se resuelven con la metodología del problema 1.

Notas: sobre estos problemas es conveniente señalar que:

  1. A pesar del la pequeña carga de altura y1 de hasta 80 cms, el Número de Froude siempre es alto.

  2. La velocidad V2 supera en descarga libre supera al menos 2 veces la velocidad máxima permisible Vp de la arcilla compactada de 1.7 m/s.

  3. El valor de y2 este o no sumergida la compuerta será aproximadamente menor a lo que se indica en la figura, esto es, para reducir velocidad se debe de crear artificialmente el salto.

  4. El problema 6 indica que no existe solución, el lector al buscar en la figura 6.16 para, y1/a = 0.8/0.2 = 4 que intercepte a la curva, y3/a = 0.4/0.2 = 2, no la encuentra la intersección. Esto se debe a que y3 < ys, esto es, antes de asignar un valor arbitrario a y3 se deberá de calcular ys y proponer un valor de y3 que sea: y3 > 1.10·ys, según Gardea en vez de 1.1 debe ser 1.2 con el objetivo de limitar la longitud del salto Ls.

  5. Es conveniente insistir que si una compuerta se diseña para descargar en forma sumergida el valor de y3 debe ser: y3 > 1.10·ys.


Tema 5.1.2) Problemas de vertedores: ver Figura 2.
P7) Un vertedor colocado en un canal rectangular de 0.6m de ancho, tiene una altura del fondo a la cresta de; w = 0.3m, una altura de ola de, h = 0.5m y un espesor de, e = 1.0m. Aguas abajo la altura de la lamina es de, h’ = 0.1m sobre la cresta, con estos datos determine el valor del gasto Q para las siguientes condiciones:

a) El vertedor es de pared delgada (ε1 = 1) y descarga en forma libre (ε2 = 1).

b) El vertedor es de pared gruesa (ε1 < 1) y descarga en forma libre (ε2 = 1).

c) El vertedor es de pared gruesa (ε1 < 1) y descarga en forma sumergida (ε2 < 1).


Resolución a). El calculo de q y Q se basa en la formula (6). Para la opción 1) solo interviene el coeficiente μ que depende de la contracción (el termino 0.611) y de la velocidad V1 aguas arriba que no necesariamente es casi cero (el termino 0.08·h/w).
μ = 0.611 + 0.08h/w = 0.611 + 0.08·0.5/0.3 = 0.744
q = (2.952h 3/2)μ·ε1·ε2 = (2.952·0.53/2)·0.744·1·1 = 0.776m2/s
q se multiplica por el ancho b y se obtiene: Q = b·q = 0.6m·0.776m2/s = 0.466m3/s
Resolución b). Si el vertedor es de pared gruesa se genera una presión sobre la cresta del vertedor que se opone al flujo que proviene de aguas arriba, según Bazin y Gibson este efecto reduce el gasto por un factor ε1, que se obtiene experimentalmente:

Se calcula e/h = 1.0m/0.5m = 2 para determinar cual formula de (8) se debe de usar y en este ejemplo corresponde a la de Bazin.


ε1 = 0.7 + 0.185/(e/h) = 0.7 + 0.185/2 = 0.792
El gasto de 0.466m3/s obtenido en a) se multiplica por 0.792 y se obtiene el gasto en el vertedor de pared gruesa; Q = 0.466m3/s·0.792 = 0.369m3/s
Resolución c). Si el vertedor opera en forma sumergida el problema es un tanto complejo, sin embargo, según Domínguez esta sumersión reduce el gasto por un factor ε2, y que se presenta en la tabla o la grafica en la Figura 3.
Se calcula 1 - h’/h = 1 – 0.1/0.5 = 0.8 y se busca en la tabla2 de la Figura 3 y se encuentra que ε2 = 0.96.
El gasto de 0.369m3/s obtenido en b) se multiplica por 0.96 y se obtiene el gasto que incluye el efecto de la sumersión; Q = 0.369m3/s·0.96 = 0.354m3/s
Problemas 8 al 12) Estos problemas se resuelven con la metodología del problema 1.


Tema 5.1) Problemas de diseño: este tipo de problema se enfoca al cálculo de la abertura a de la compuerta y de {w y h} en el vertedor. Además si la compuerta y el vertedor están relacionada a través del salto hidráulico parte de la información que se obtenga en la compuerta será necesaria para el diseño del vertedor o viceversa.
P13, Diseño en descarga libre) Una compuerta tiene una carga de altura aguas arriba de 1.2m, un ancho de 0.6m y debe descargar un gasto de 0.3m3/s (q = Q/b = 0.5m2/s). El diseño consiste en una descarga libre en la sección 2 y para controlar el salto hidráulico se coloca aguas abajo un vertedor de pared delgada con descarga libre, determine: 1) la abertura de la compuerta, 2) la altura del vertedor w, 3) la distancia a la que se coloca el vertedor a partir de la compuerta.
Resolución a): De la formula (3) se despeja a y se deja en términos de Cd;

El cálculo de Cd es un proceso iterativo que inicia al asumir que Cd = 0.58, en el entendido que Cd esta en el rango de [0.55, 0.60] según se observa en la Figura 6.15.


Este proceso iterativo presentado en forma de tabla conduce rápidamente a la solución de la abertura a de la compuerta y el proceso iterativo termina cuando el valor de a no difiera en 0.01m entre la iteración k versus k-1.

En la 1ª iteración se obtiene que la abertura de la compuerta es: a = 0.178m




La profundidad en la sección 2 es: y2 = Cc·a = 0.62*0.178 = 0.11m y el área del chorro, A2 = b·y2 = 0.6·0.11 = 0.066m2 y la velocidad, V2 = Q/A2 = 0.3/0.066 = 4.55m/s. Calcular la V2 simplifica el calculo de


Se calcula el Número de Froude en la sección 2, que para una sección rectangular es:

El salto hidráulico resulta ser:

Conocida la profundidad y3 y de acuerdo a la figura 3; y3 = 0.63 = w + h y por lo tanto w = y3 – h, la ecuación del vertedor de pared delgada con descarga libre resulta ser:
(9)
C1 = (0.5/2.952)0.667 = 0.306m y μ = 0.611 + 0.08[h/(0.63 – h)]
Si se asume que el primer valor de μ es: μ = 0.7 el siguiente proceso iterativo presentado en forma de tabla conduce rápidamente a la solución, cuando h entre la iteración k y la k-1 sea menor de 0.01m. Donde C1 = 0.306m.




Donde h se obtiene en al 2ª iteración y es igual a 0.378m y w;

w = 0.63 – 0.378 = 0.252m


La colocación del vertedor a partir de la compuerta aguas abajo es:
a/Cc + 6(y3 – y2) = 0.178/0.62 + 6·(0.63 – 0.11) = 3.41m
P14, diseño en descarga sumergida) Se desea que la compuerta del P13) opere en forma sumergida sobre esta base, a) diseñe de nuevo el vertedor, b) calcule la abertura de la compuerta.
Resolución a). En el tema 5.1.1 y en las notas 4 y 5 se indica que si la compuerta debe de operar en forma sumergida la profundidad y3 > 1.1·ys para este diseño se propone que y3 = 1.15·ys, por lo tanto,
y3 = 1.15·0.63 = 0.7245 ≈ 0.73m (redondeando al superior)
Para el diseño del vertedor se parte de procedimiento que se indica en la formula (9), solo que en vez de usar 0.63m, se usa y3 = 0.73m

(9)
C1 = (0.5/2.952)0.667 = 0.306m y μ = 0.611 + 0.08[h/(0.73 – h)]
Si se asume que el primer valor de μ es: μ = 0.7 el siguiente proceso iterativo presentado en forma de tabla conduce rápidamente a la solución, cuando h entre la iteración k y la k-1 sea menor de 0.01m. Donde C1 = 0.306m.




Donde h se obtiene en al 1ª iteración y es igual a 0.388m y w;

w = 0.73 – 0.388 = 0.342m

Calcular exactamente la abertura de la compuerta en descarga sumergida a partir del diagrama de Cofré es un proceso por ensayo y error bastante largo para superar esta dificultad es más conveniente proceder de la siguiente forma:


  • Como se conoce que la abertura de la compuerta a = 0.178m para descarga libre la abertura en descarga sumergida debe ser mayor por lo tanto;

  • Se incrementa de 10% en 10% la abertura de 0.178m (0.178·0.1 ≈ 0.02m) y se calcula el Cd para a = 0.20m, 0.22m, 0.24m y con esto el gasto Q hasta que se aproxime a Q = 0.30m3/s.

Calculo: , en forma de tabla el calculo queda de la siguiente forma;






En dos intentos se obtiene el resultado y este indica que la compuerta se debe de abrir aproximadamente 0.21m.



Observaciones sobre el diseño en descarga sumergida: Para diseñar una compuerta en descarga sumergida se debe primero: calcular la descarga libre hasta el cálculo del salto hidráulico por dos razones:


  • La altura del salto ys determina la altura y3.

  • Es necesario conocer la abertura de la compuerta en descarga libre para tener una idea cual será la abertura en descarga sumergida.


P15, Diseño en descarga sumergida) Una compuerta tiene una carga de altura aguas arriba de 2.4m, un ancho de 0.9m y debe descargar un gasto de 0.9m3/s (q = Q/b = 1.0m2/s). El diseño consiste en una descarga sumergida en la sección 2 y para controlar el salto hidráulico se coloca aguas abajo un vertedor de pared delgada con descarga libre. La sumersión debe ser y3 = 1.20·ys (redondear a centímetros), determine:, 1) la altura del vertedor w, 2) la abertura de la compuerta en descarga sumergida. Sugerencia: siga el procedimiento del problema 14.
Respuesta: ys queda de ≈ 1.085, 1) w ≈ de 0.68m, 2) a de ≈ 0.297m.
P16, Diseño en descarga sumergida) Una compuerta tiene una carga de altura aguas arriba de 1.20 m, un ancho de 0.6m y debe descargar un gasto de 0.3m3/s (q = Q/b = 0.5m2/s). El diseño consiste en una descarga sumergida en la sección 2 y para controlar el salto hidráulico se coloca aguas abajo un vertedor de pared delgada con descarga libre. La sumersión debe ser y3 = 1.2·ys (redondear a centímetros), determine:, 1) la altura del vertedor w, 2) la abertura de la compuerta en descarga sumergida.
Respuesta: ys queda de ≈ 0.63, 1) w ≈ 0.365m, 2) a ≈ 0.224m.


P17, Diseño en descarga libre) Una compuerta tiene una carga de altura aguas arriba de 3.0m, un ancho de 1.2m y debe descargar un gasto de 2.4m3/s (q = Q/b = 2.0m2/s). El diseño consiste en una descarga libre en la sección 2 y para controlar el salto hidráulico se coloca aguas abajo un vertedor de pared delgada con descarga libre, determine:, 1) la abertura de la compuerta en descarga libre, 2) la altura del vertedor w, 3) la distancia a la que se debe de colocar el vertedor a partir de la compuerta.
Respuesta: 1) a = 0.44 a 0.45m, 2) w = de 0.63 a 0.65m, 3) Ls = de 8 a 9m.
P18, de revisión) Un canal de riego (con m = 1) requiere de una profundidad y1 = 2.0m para extraer Q1 = 0.5m3/s de las compuertas laterales. Esta altura se obtiene al colocar un vertedor de pared gruesa. Aguas abajo del vertedor la corriente de agua con QT continua y se necesita que la altura siga siendo 2.0m ya que 1,000m más adelante se colocaran de nuevo 2 compuertas.

Figura 4. Vertedor de pared gruesa operando con descarga sumergida.


Si e = 2.0m, w = 0.62m y h’ = 0.5m y el ancho b = 10.0m, obtenga el valor del gasto total QT que se descarga y el desnivel Δz entre el canal 1 y el canal 2. Use el método de solución indicado en el problema 7.
Respuesta: QT entre 28 a 30 m3/s, Δz = 0.88m.
P19, de diseño con descarga libre). Para el problema anterior con un gasto Q = 29 m3/s y b = 10.0 m, determine a) h y w si el vertedor es de pared delgada y tiene una descarga libre h’ = 0, b) el valor de Δz.
Respuesta: a) h ≈ 1.21m y w ≈ 0.79, b) Δz = 2 – 0.79 = 1.21m.
P20, Calculo de la contracción) Un deposito descarga a través de un Tubo de Borda que tiene un área AT/3, sin embargo, es observable que en la salida, en el punto 3, el área de conducción A3, disminuye. Usando las Tres ecuaciones fundamentales de la Hidráulica: Continuidad y Gasto, Energía e Impulso encuentre el valor de A3 en términos del área del tubo AT.

Figura 5. Elementos que intervienen en una descarga de la Toma de Borda.


Resolución: Considerando que las perdidas de 1 a 3 son cero (h13 = 0) la velocidad en la descarga (punto 3) se obtiene de la ecuación de Bernoulli y es y el gasto Q de la ecuación de continuidad; Q = V3A3, como el área A3 es desconocida la respuesta al valor de esta variable se puede obtener o no en la ultima ecuación de la Hidráulica que es la Impulso, al plantear esta ecuación de 2 a 3 se tiene:

Considerando que: V2 = 0, Fp3 = 0, Q = V3A3 la ec. anterior se reduce a;


Sustituyendo a; y en la ec. anterior se obtiene;


Eliminando γy y despejando A3 se obtiene:



Por lo tanto se puede concluir que el área total del tubo AT se contrae a la mitad a la salida del tubo, o sea, el Coeficiente de Contracción = 0.5.
Interpretación Física de la contracción: La ecuación de Bernoulli indica que hay sufí-ciente energía para generar una velocidad en la descarga ,sin embargo, al incluir la ec. de Impulso en el análisis indica que no hay fuerza de presión suficiente para sacar todo el gasto Q = V3AT, por el orificio del tubo.

1/ Esta formula de dA = T·dy es ampliamente usada en los libros de texto de hidráulica en el capitulo de Energía Especifica para generalizar la formula del Número de Froude.

2/ Nota: si no encuentra el valor de (1 - h’/h) en la tabla y se desea evitar la interpolación se puede recurrir a la grafica.


3/ La Toma de Borda consiste en un tubo que entra en el deposito, esto permite suponer que la fuerza que empuja al agua a meterse dentro del tubo es F = γў·AT, donde ў es el centroide del área AT medida a partir de la superficie libre del deposito



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