Programa de la asignatura ampliación ecuaciones diferenciales curso académico 2010/2011



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PROGRAMA DE LA ASIGNATURA AMPLIACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES

Curso académico 2010/2011



Identificación y características de la asignatura

Denominación

AMPLIACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES

Código




Créditos (T+P)

4,5+1,5

Titulación

MATEMÁTICAS

Centro

CIENCIAS

Curso

2010-2011

Temporalidad

1ER CUATRIMESTRE

Carácter

TRONCAL

Descriptores (BOE)

ECUACIONES DIFERENCIALES. ESTABILIDAD. PROBLEMAS DE CONTORNO

Profesor/es

Nombre

Despacho

Correo-e

Página web

MANUEL FERNÁNDEZ GARCÍA-HIERRO

DPTO. MAT. C-27

ghierro@unex.es

http://kolmogorov.unex.es/

~ghierro/



Área de conocimiento

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Departamento

MATEMÁTICAS

Profesor coordinador (si hay más de uno)





Objetivos y/o competencias

Recordar la teoría de sistemas diferenciales lineales.

Conocer y saber demostrar las distintas caracterizaciones de atractores y fuentes en sistemas diferenciales lineales.

Conocer el concepto de conjugación. Relacionar los conceptos de conjugación lineal, diferenciable y topológica en sistemas diferenciales lineales.

Conocer el enunciado y demostración del teorema de clasificación de sistemas hiperbólicos.

Conocer la teoría básica de sistemas diferenciales lineales con coeficientes periódicos.

Saber calcular soluciones analíticas. Conocer el método de Frobenius.


Recordar la teoría del problema de valor inicial.

Conocer el enunciado del teorema de diferenciabilidad de las soluciones respecto de las condiciones iniciales y parámetros.

Conocer el concepto de integral primera y su relación con las soluciones.

Saber la teoría del problema de valor inicial en sistemas autónomos. Conocer el concepto de órbita y de espacio de fases.

Conocer la relación entre sistemas autónomos y no autónomos.

Saber la teoría del problema de valor inicial en sistemas periódicos.

Saber dibujar el plano de fases de algunos sistemas autónomos bidimensionales sencillos. Reconocer los puntos de equilibrio y las órbitas periódicas. Saber calcular integrales primeras de algunos sistemas bidimensionales autónomos. Saber reducir una ecuación no autónoma a una autónoma y viceversa.
Conocer la demostración del teorema del flujo tubular. Saber calcular la linealización de un sistema diferencial en un punto de equilibrio. Saber deducir propiedades de un sistema diferencial a partir de su linealización. Conocer el concepto de conjunto límite de una órbita y saber demostrar sus principales propiedades. Conocer el concepto de estabilidad y estabilidad asintótica de un punto de equilibrio. Saber demostrar condiciones suficientes para la estabilidad, estabilidad asintótica e inestabilidad de un punto de equilibrio. Conocer el concepto de conjunto invariante y su utilidad para determinar la estabilidad.
Conocer la estabilidad de los puntos de equilibrio en sistemas gradientes. Saber demostrar una condición suficiente para la existencia de soluciones periódicas en sistemas hamiltonianos planos. Saber demostrar que si el ω-límite de una órbita no contiene puntos de equilibrio, es una órbita periódica. Conocer condiciones suficientes para la existencia de soluciones periódicas en ecuaciones de Liénard..



Temas y contenidos

(especificar prácticas, teoría y seminarios, y actividades en general, en su caso)






TEMARIO

CAPÍTULO 1. SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES (20 horas)

1. Sumario sobre sistemas diferenciales lineales.

2. Sumario sobre sistemas diferenciales lineales autónomos.

3. Campos hiperbólicos. Atractores y fuentes.

4. Conjugación.

5. Clasificación topológica de sistemas hiperbólicos.

6. Sistemas diferenciales lineales con coeficientes periódicos.

7. Soluciones por desarrollo en serie.


CAPÍTULO 2. SISTEMAS DIFERENCIALES

(10 horas)

1. Sumario sobre el problema de valor inicial: Teorema de existencia y unicidad local. Prolongación de soluciones. Intervalo maximal de existencia. Continuidad de las soluciones respecto de las condiciones iniciales y parámetros.

2. Diferenciabilidad de las soluciones respecto de las condiciones iniciales y parámetros.

3. Integrales primeras.

4. Sistemas autónomos. Órbitas.

5. Relación entre sistemas autónomos y no autónomos.

6. El flujo definido por un sistema autónomo. Sistemas dinámicos.

2. Linealización.
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DIFERENCIALES AUTÓNOMOS. ESTABILIDAD

(15 horas)

1. Conjuntos límites de una órbita.

2. Estabilidad de puntos de equilibrio. El método de Liapunov.

3. Conjuntos invariantes.

4. El teorema del flujo tubular.


CAPÍTULO 4. SISTEMAS DIFERENCIALES AUTÓNOMOS PLANOS

(15 horas)

1. Sistemas gradientes y Hamiltonianos.

2. El teorema de Poincaré-Bendixon.

3. La ecuación diferencial de Liénard.
.


METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES

Actividad formativa:

1. Explicación y discusión de contenidos. Metodología: Clases de teoría en grupos grandes.


2. Resolución y discusión de problemas y ejercicios. Metodología: Clases de prácticas en grupos grandes.
3. Evaluación. Metodología: Exámenes escritos.
4. Estudio autónomo. Metodología: Estudio individual de los contenidos teóricos. Resolución individual de los ejercicios propuestos.


RECOMENDACIONES PARA EL ESTUDIO

Tener aprobadas las asignaturas: Análisis de varias variables reales y Ecuaciones Diferenciales.








Criterios de evaluación

Examen de carácter eliminatorio a finales de Noviembre.

Examen final que consta de preguntas de tipo teórico-práctico. La parte teórica tendrá una valoración del 40% del total y la parte práctica (cuestiones y ejercicios) del 60%.
Los resultados obtenidos por el alumno se calificarán en la escala numérica del

0 al 10, con expresión de un decimal, a la que se le podrá añadir la

correspondiente calificación cualitativa de acuerdo al siguiente baremo:

0 - 4,9: Suspenso.

5,0 - 6,9: Aprobado.

7,0 - 8,9: Notable.

9,0 - 10: Sobresaliente.





Bibliografía



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A. TINEO, J. RIVERO, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Departamento de Matemáticas, Univ. de los Andes, Venezuela.





Tutorías




Horario

Lugar

Lunes


13:00-14:00



DESPACHO C27

DEPARTAMENTO MATEMÁTICAS


Martes



13:00-14:30


DESPACHO C27

DEPARTAMENTO MATEMÁTICAS


Miércoles




13:00-14:30

DESPACHO C27

DEPARTAMENTO MATEMÁTICAS


Jueves



13:00-14:00


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Viernes



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