Programa de la asignatura ecuaciones diferenciales



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PROGRAMA DE LA ASIGNATURA ECUACIONES DIFERENCIALES

Curso académico 2008-2009



Identificación y características de la asignatura

Denominación

ECUACIONES DIFERENCIALES

Código




Créditos (T+P)

4,5+1,5

Titulación

MATEMÁTICAS

Centro

CIENCIAS

Curso



Temporalidad

PRIMER CUATRIMESTRE

Carácter

TRONCAL

Descriptores (BOE)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Profesor/es

Nombre

Despacho

Correo-e

Página web

MANUEL FERNÁNDEZ GARCÍA-HIERRO

C-27

ghierro@unex.es

http://kolmogorov.unex.es/~ghierro/

Área de conocimiento

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Departamento

MATEMÁTICAS

Profesor coordinador (si hay más de uno)





Objetivos y/o competencias

OBJETIVOS:

DEL CAPÍTULO I: Establecer la definición de solución de una ecuación diferencial escalar ordinaria de primer orden y su interpretación geométrica. Desarrollar las técnicas de integración elemental para ecuaciones escalares autónomas, de variables separadas, lineales y exactas. Percatarse de la imposibilidad de integrar elementalmente la mayoría de las ecuaciones diferenciales y de la necesidad de usar métodos cualitativos y numéricos. Establecer propiedades de las soluciones mediante el uso de sub y supersoluciones. Conocer el Lema de Gronwall y su aplicación a la unicidad de soluciones. Construir modelos matemáticos de problemas de naturaleza física, química, biológica y económica, en los que aparecen ecuaciones diferenciales


DEL CAPÍTULO II: Introducir el concepto de solución de una ecuación diferencial vectorial o sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden definida en Rⁿ. Relacionar los sistemas de primer orden con las ecuaciones diferenciales escalares de orden superior. Establecer la relación entre el problema de valor inicial y la ecuación integral asociada. Definir las iterantes de Picard para encontrar la única solución del problema de valor inicial. Conocer la teoría de existencia de soluciones del problema de valor inicial solo con la hipótesis de continuidad. Introducir el concepto de solución aproximada y utilizarlo para probar la existencia de soluciones.

Establecer los teoremas de existencia y unicidad de soluciones definidas en intervalos maximales. Desarrollar el concepto de solución respecto de las condiciones iniciales y parámetros. Estudiar su continuidad.


DEL CAPÍTULO III: Adaptar la teoría de existencia y unicidad de soluciones al caso de un sistema diferencial lineal n-dimensional con coeficientes reales o complejos. Establecer una fórmula para las soluciones mediante el uso de soluciones matriciales. Desarrollar la teoría en el caso de coeficientes constantes, mediante la definición de exponencial matricial y la utilización de la forma canónica de Jordan. Encontrar una base de soluciones para la ecuación lineal escalar de orden superior con coeficientes constantes. Estudiar las vibraciones en sistemas mecánicos y eléctricos mediante la construcción de un modelo matemático regido por una ecuación lineal de segundo orden.

DESTREZAS.



Destrezas teóricas: Asimilar las definiciones de solución, problema de valor inicial, subsolución, supersolución, solución aproximada, solución maximal, solución respecto de las condiciones iniciales y parámetros, solución matricial y exponencial matricial. Conocer demostraciones de los siguientes resultados: teorema de existencia y unicidad (Picard-Lipschitz-Lindeloff) de soluciones locales y globales del problema de valor inicial, teorema de continuidad de la solución respecto de las condiciones iniciales, teorema de existencia y unicidad de soluciones maximales de una ecuación lineal, fórmula de Abel-Jacobi-Liouville, existencia de la exponencial de una matriz.

Resolución de problemas: Conocer los métodos de integración elemental de ecuaciones diferenciales escalares autónomas, de variables separadas y lineales. Conocer los cambios de variables que reducen las ecuaciones diferenciales escalares homogéneas, de Bernoulli y de Ricatti a los tipos anteriores. Saber efectuar el cambio de variables a polares. Saber deducir propiedades cualitativas (crecimiento, concavidad, intervalo de definición,...) de las soluciones de una ecuación diferencial escalar sin resolverla, así como a partir de sus sub y supersoluciones. Saber resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y analíticos.

Modelización: Saber construir modelos que describan la desintegración de una muestra de elemento radiactivo, la determinación de la edad de un fósil mediante la prueba del carbono 14, el proceso de enfriamiento de un cuerpo caliente, la variación de la concentración de una sustancia en un reactor químico, la evolución de una población de una sola especie, la curva que describe un móvil que persigue a un objetivo, la intensidad y el voltaje en un circuito eléctrico simple y vibraciones en sistemas mecánicos.



Temas y contenidos

(especificar prácticas, teoría y seminarios, en su caso)


CAPÍTULO I. ECUACIONES DIFERENCIALES: TEORÍA UNIDI­MEN­SIONAL

1. Soluciones. Campos de direcciones. El problema de valor inicial.

2. Métodos de integración: Ecuaciones autónomas y de variables separadas. Ecuaciones lineales. Cambio de variable.

3. Métodos de integración: Ecuaciones exactas. Factores integrantes. Integración de algunos tipos especiales de ecuaciones en forma implícita.

4. Desigualdades diferenciales. Subsoluciones y supersoluciones.

5. El lema de Gronwall. Unicidad de soluciones.
CAPÍTULO II. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DIMENSIÓN SUPERIOR

1. Existencia y unicidad de soluciones para el problema de valor inicial. El método de las aproximaciones sucesivas. Teorema de Picard-Lipschitz-Lindeloff. Soluciones aproximadas. El teorema de Cauchy-Peano.

3. Prolongación de soluciones. Soluciones maximales.

4. Continuidad de la solución respecto de las condiciones iniciales y parámetros.


CAPÍTULO III. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

1. Funciones matriciales.

2. Existencia y unicidad de soluciones para el problema de valor inicial.

3. Estructura algebraica del conjunto de soluciones. La fórmula de variación de constantes.

4. Soluciones matriciales.

5. Ecuaciones con coeficientes constantes (caso diagonalizable). Soluciones reales y complejas.

6. Ecuaciones con coeficientes constantes (caso general). La exponencial matricial. Soluciones reales y complejas.

7. Ecuaciones escalares de orden superior con coeficientes constantes y analíticos. Vibraciones en sistemas mecánicos.








Criterios de evaluación

Examen teórico de carácter eliminatorio en Noviembre. (15% de la calificación).

Examen teórico de carácter eliminatorio en Diciembre. (15 % de la calificación).

Examen que consta de cuatro preguntas de tipo teórico-práctico. La parte teórica tendrá una valoración del 45% del total y la parte práctica (cuestiones y ejercicios) del 55%.







Bibliografía



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A.TINEO, J.RIVERO, Ecuaciones diferenciales ordinarias, Publ. Dpto Univ. Andes, Venezuela.





Tutorías




Horario

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Lunes


13-14:30


DESPACHO C27. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Martes


13-14:30


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12-14

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