Propiedades de los números pseudoaleatorios entre o y 1



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Propiedades de los números pseudoaleatorios entre O y 1
En la sección anterior hablamos de cómo generar números aleatorios usando diferentes métodos. Sin embargo, ¿de qué manera se puede garantizar que tales números son realmente aleatorios entre O y 1? ¿Cuáles son las características que los identifican?, ¿cuáles son sus parámetros? La respuesta a las preguntas anteriores es muy importante, dado que los números aleatorios serán utilizados en la simulación para generar los valores de cualquier variable aleatoria. En gran medida, conocer las propiedades que deben tener estos números aleatorios garantiza una buena simulación, por ello, se enumeran a continuación.


  • Media de los aleatorios entre O y 1. En vista de que estos números deben tener la misma probabilidad de presentarse, es preciso que su comportamiento muestre una distribución de probabilidad uniforme continua, con límite inferior cero y límite superior uno.

Por lo tanto, el valor esperado {es decir, la media de los números aleatorios entre O y 1) es:



µ, = 0.5.

Varianza de los números aleatorios.



  • Independencia. Ésta es una propiedad muy importante, e implica que los números aleatorios no deben tener correlación entre sí; es decir, deben ser independientes, de manera que puedan dispersarse uniformemente dentro de todo el espectro de valores posibles



Es posible realizar una serie de pruebas para corroborar que no existe correlación entre los números aleatorios, e incluso para garantizar que no exista un sesgo o tendencia entre los dígitos de cada uno de ellos.



Pruebas estadísticas para los números pseudoaleatorios
En la sección anterior se presentaron diversos algoritmos para construir un conjunto ri pero ése es sólo el primer paso, ya que el conjunto resultante debe ser sometido a una serie de pruebas para validar si los números que lo integran son aptos para usarse en un estudio de simulación.
A continuación se analizarán las pruebas estadísticas básicas que se emplean generalmente para determinar si un conjunto de números pseudoaleatorios entre cero y uno cumplen con las propiedades básicas de independencia y uniformidad. El objetivo, en otras palabras, es validar que el conjunto r; realmente está conformado por números aleatorios. Es importante mencionar que las pruebas que se discutirán no son únicas.

Prueba de medias
Una de las propiedades que deben cumplir los números del conjunto ri es que el valor esperado sea igual a 0.5. La prueba que busca determinar lo anterior es la llamada prueba de medias, en la cual se plantean las siguientes hipótesis:

La prueba de medias consiste en determinar el promedio de los n números que contiene el conjunto ri, mediante la ecuación siguiente:




Después se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:


Ejemplo

Considere los 40 números del conjunto ri que se presenta a continuación, y determine si tienen un valor esperado de 1/2 (0.5) con un nivel de aceptación de 95 por ciento.




0.0449

0.1733

0.5746

0.049

0.8406

0.8349

0.92

0.2564

0.6015

0.6694

0.3972

0.7025

0.1055

0.1247

0.1977

0.0125

0.63

0.2531

0.8297

0.6483

0.6972

0.9582

0.9085

0.8524

0.5514

0.0316

0.3587

0.7041

0.5915

0.2523

0.2545

0.3044

0.0207

0.1067

0.3587

0.1746

0.3362

0.1589

0.3727

0.4145

El conjunto ri contiene 40 números, por lo tanto, n = 40. Un nivel de aceptación de 95% implica que a= 5%. Enseguida procedemos a calcular el promedio de los números y los límites de aceptación:


Como el valor del promedio: r = 0.43250 se encuentra entre los límites de aceptación, se concluye que no se puede rechazar que el conjunto de 40 números ri tiene un valor esperado de 0.5, con un nivel de aceptación de 95 por ciento.



Prueba de varianza
Otra de la propiedades que debe satisfacer el conjunto r¡, es que sus números tengan una varianza de 1 /12. La prueba que busca determinar lo anterior es la prueba de varianza, que establece las siguientes hipótesis:


La prueba de varianza consiste en determinar la varianza de los n números que contiene el conjunto ri mediante la ecuación siguiente:




Después se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:



Si el valor de V(r) se encuentra entre los límites de aceptación, decimos que no se puede rechazar que el conjunto r; tiene una varianza de 1 /12, con un nivel de aceptación de 1 - α; de lo contrario, se rechaza que el conjunto r; tiene una varianza de 1 /12.


Ejemplo
Realizar la prueba de varianza a los 40 números ri del ejemplo anterior.

Considerando que n = 40 y α = 5%, procedemos a calcular la varianza de los números, y los límites de aceptación correspondientes:

Dado que el valor de la varianza: V(r) = 0.8695062 está entre los límites de aceptación, podemos decir que no se puede rechazar que el conjunto de 40 números r, tiene una varianza de 1 /12 = 0.08333.



Pruebas de uniformidad
Una de las propiedades más importantes que debe cumplir un conjunto de números r¡ es la uniformidad. Para comprobar su acatamiento se han desarrollado pruebas estadísticas tales como las pruebas Chi-cuadrada y de Kolmogorov-Smirnov. En cualquiera de ambos casos, para probar la uniformidad de los números de un conjunto r¡ es necesario formular las siguientes hipótesis:



Veamos a continuación cómo funciona cada una de estas pruebas.


Prueba Chi­cuadrada
La prueba Chi-cuadrada busca determinar si los números del conjunto r; se distribuyen uniformemente en el intervalo (O, 1 ). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir el intervalo (O, 1) en m sub intervalos, en donde es recomendable m = ñ. Posteriormente se clasifica cada número pseudo aleatorio del conjunto r¡ en los m intervalos. A la cantidad de números r¡ que se clasifican en cada intervalo se le denomina frecuencia observada (O¡), y a la cantidad de números r¡ que se espera encontrar en cada intervalo se le llama frecuencia esperada (E¡); teóricamente, la E¡ es igual n/m. A partir de los valores de O; y E; se determina el estadístico mediante la ecuación

Si el valor del estadístico es menor al valor de tablas de entonces no se puede rechazar que el conjunto de números r; sigue una distribución uniforme. En caso contrario, se rechaza que r; sigue una distribución uniforme.


Ejemplo
Realizar la prueba Chi-cuadrada a los siguientes 100 números de un conjunto r¡, con un nivel de confianza de 95 por ciento.


0.347

0.832

0.966

0.472

0.797

0.101

0.696

0.966

0.404

0.603

0.993

0.371

0.729

0.067

0.189

0.977

0.843

0.562

0.549

0.992

0.674

0.628

0.055

0.494

0.494

0.235

0.178

0.775

0.797

0.252

0.426

0.054

0.022

0.742

0.674

0.898

0.641

0.674

0.821

0.19

0.46

0.224

0.99

0.786

0.393

0.461

0.011

0.977

0.246

0.881

0.189

0.753

0.73

0.797

0.292

0.876

0.707

0.562

0.562

0.821

0.112

0.191

0.584

0.347

0.426

0.057

0.819

0.303

0.404

0.64

0.37

0.314

0.731

0.742

0.213

0.472

0.641

0.944

0.28

0.663

0.909

0.764

0.999

0.303

0.718

0.933

0.056

0.415

0.819

0.444

0.178

0.516

0.437

0.393

0.268

0.123

0.945

0527

0.459

0.652

Antes de proceder, es recomendable crear una tabla similar a la tabla anterior, en donde se resumen los pasos que deben llevarse a cabo en la prueba Chi-cuadrada..



Tabla Cálculos para la prueba Chi-cuadrada


Intervalo

Oi

Ei=n/m

(Ei-Oi)2/E

[0.00-0.10)

7

10

0.9

[0.10-0.20)

9

10

0.1

[0.20-0.30)

8

10

0.4

[0.30-0.40)

9

10

0.1

[0.40-0.50)

14

10

1.6

[0.50-0.60)

7

10

0.9

[0.60-0.70)

11

10

0.1

[0.70-0.80)

14

10

1.6

[0.80-0.90)

9

10

0.1

[0.90-1.00)

12

10

0.4













0.62



















El estadístico es menor al estadístico correspondiente de la Chi-cuadrada .En consecuencia, no se puede rechazar que los números r; siguen una distribución uniforme.





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