Relaciones métricas en el triángulo rectángulo



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RELACIONES MÉTRICAS EN EL

TRIÁNGULO RECTÁNGULO



a

h



b

c

m



n
a y b Catetos:;c

:Hipotenusa

h Altura relativa a la

hipotenusa

m y n Proyecciones de los catetos

sobre la hipotenusa



CALCULO DEL CATETO

x

y

c



m

n


x2 = c x m


y2 = c x n




CÁLCULO DE LA ALTURA

m

n

h




h2 = m x n



TEOREMA DE PITÁGORAS





b

a

c2 = a2 + b2




c


  • Hallar “x” en cada caso:






1

x

24







x

2

8







x





5

4

3

4



x




x

2

7








x



x

2

10


x

1



36

x

10



a x b = 20

a

b


x

3



4


PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS






TEOREMA DE

THALES


Si:



L1




x




L2




a

b

L3

y







MUCHO OJO

B

M



N

A

C



b

a


x






y




Propiedad de la




BISECTRIZ INTERIOR



a

b

m



n


Y si fuera una


BISECTRIZ EXTERIOR

A

C



n

m

a



B






SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
A

C

b



c

a







B

r



m

n

M



R

N







Si : m y m



 ∆ABC ∼ ∆MNR

Se lee: Triángulo ABC es semejante al triángulo

MNR




LADOS HOMÓLOGOS

“a” con m

“b” con n

“c” con r



PROPIEDAD:









IMPORTANTE:

B

M



A

C

N



 ∆MBN ∼ ∆ABC


Resuelve los siguientes ejemplos y calcular “x” en cada caso.


B

B

A



C

D

5



10

4

x



1.

L1 // L2 // L3





L1
2.

8

a




L2

x


5a




L3




3.






3a








2a



12

x




4.


5a









a


3

x


5.







20




3a












4a

x

6.


5a












x

3a









24

7.





5a






24






x

7a




EJERCICIOS DE APLICACIÓN



  1. Hallar “x” en el trapecio.



81
a) 1


x
b) 2

c) 3



x

1
d)9

e) 8



  1. Hallar: “ED” ; ; BD = 8 ; 3BE = 4EC

A 



C 

E 


D 

B 
a) 8

b) 4

c) 3


d) 7

e) 6



  1. Calcular “MN” ; AC = 60 ; 2NC = 3BN ;


B

a) 12


b) 24


N

M
c) 36

d) 48



C

A
e) 60


  1. Hallar “NC” ; ; BN = 4 ; 6AB = 7MN


B



a) 8


N
b) 12

c) 16


d) 20


M

C

A
e) 24
5-.-allar: x + y;


L1




4

2a

x
a) 10


L2
b) 6


y

3a

15
c) 8


L3
d) 14

e) 16

6.-Calcular “PQ” ;

3BQ = 2QC ; PC = 18


B



a) 6


Q
b) 12

c) 10






d) 15


P

C

A
e) 2

  1. Hallar: x + y + z





z
a) 42


y

x
b) 47

c) 49



16

9
d) 45

e) 43
3

2

7

x



Hallar: “x”
a) 1

b) 3


c) 4

d) 5


e) 6


  1. Hallar: x + y + z

12

5

x



24

7

y



15

8

z


a) 13

b) 25


c) 17

d) 55


e) 65

2

3



x

Hallar: x
a) 1

b) 2


c) 3

d) 4


e) 5

5.-Hallar: x + y + z

36

64

x



z

y
a) 188

b) 160

c) 187


d) 189

e) 1507


6

2

x


6.-Hallar: “x”
a) 1

b) 2


c) 3

d) 4


e) 5

  1. Hallar “x”; a x b = 36

a

x

b



4x
a) 1

b) 2


c) 3

d) 4


e) 5

PROBLEMAS

1.-Un ómnibus parte del terminal terrestre y se drige 12 km en dirección norte .Luego avanza 3,5 km en dirección este hasta hacer su primera parada ¿A qué distancia del terminal realiza el ómnibus su primera parada?.


2.- El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de

A. Calcula la longitud del circuito sabiendo que AC = 5 km y la distancia de B al albergue

es de 2,4 km


3.-Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los

días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y

responde:

a ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo?

b ¿Qué distancia separa ambas casas?

4.-Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos

se encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella.¿Qué distancia hay entre el barco y la playa? (NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos

muelles es de 90º).





PROBLEMAS SOBRE SEMEJANZA

1.-Una escalera de 3m de longitud se cola contra la pared para alcanzar una ventana .Si el pie de la escalera está a 1m de la base de la pared ¿A qué altura aproximadamente se encuentra la ventana?


2.-Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra 49m en el momento en que una persona de 1.80 m arroja una sombra de 1.25 m
3.-Un árbol de 1,6 m proyecta una sombra de 1,2 m. En el mismo sitio, el mismo día y a la misma hora, la sombra de una antena de telefonía móvil mide 52 m. ¿Cuánto mide de alto la antena de telefonía móvil?
4.-La escala del plano de una vivienda es 1:200, el salón tiene forma rectangular de dimensiones en el plano 2 cm y 3,5 cm. Halla el área real del salón.
5.-En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?

6.-Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la habitación y las dimensiones de la cama



7.-Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?



8.-Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm.


9.-Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.


10.-¿Qué altura tiene el faro, de acuerdo a la información entregada?1ensayo5


        1. 9,3 m

        2. 13,3 m

        3. 18 m

        4. 21 m

11.-En una fotografía de Juan y Pedro ambos aparecen de pie. Juan mide 1,5m y en la foto aparece de 10 cm. ¿Cuánto mide Pedro si la foto lo muestra de 11cm?

a)0,73 m b)1,36 m c) 1,65 m d)1,71 m
12.-Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B,C, rectángulo en B Se sabe que AC =35,36 m y la altura sobre AC es 15,6 cm.Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m.
13.- Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 m en el mismo momento que la sombra de Alberto, de altura 1,80 m, mide 3 m.
14.-Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de

un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña.









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