Rey, Reyes y la introducción de la lógica matemática en España



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6. La Teoría Trascendental de las Cantidades Imaginarias de Rey

Es su obra póstuma ([9]), escrita durante los últimos años de su vida y publicada en 1865, después de su fallecimiento, una vez que sus herederos la presentaran a un concurso nacional de manuales de texto para su aplicación en la mejora de la Segunda Enseñanza. Está revisado por Fernández-Vallín y prologado por Monlau. El índice es el siguiente:


Prólogo

Introducción

Libro I: Sobre la naturaleza e interpretación de las cantidades imaginarias.


  • Capítulo I: Exposición matemática del concepto de cualidad.

  • Capítulo II: Sobre las cantidades imaginarias consideradas cono raíces.

  • Capítulo III: Sobre el modulo y el argumento de las cantidades imaginarias.

  • Capítulo IV: Interpretación del imaginarismo en las ecuaciones de segundo grado.

  • Capítulo V: Interpretación del imaginarismo en las secciones cónicas.

  • Capítulo VI: Sumario del Libro y transición a los siguientes.

Libro II: Sobre las cantidades imaginarias en el algoritmo de la suma.

  • Capítulo I: Sumas algebraicas.

  • Capítulo II: Suma sincategoremática de cantidades.

  • Capítulo III: Sobre sumas poligonales.

Libro III: Las cantidades imaginarias en el algoritmo de la producción.

  • Capítulo I: Productos binarios.

  • Capítulo II: Sobre productos ternarios.

Libro IV: Las cantidades imaginarias en el algoritmo de la graduación (elevar a potencias).

  • Capítulo I: Graduación algebraica.

  • Capítulo II: Teoría algebraica de la graduación de cantidades imaginarias.

  • Capítulo III: Sobre las raíces de la unidad.

  • Capítulo IV: Consideración dinámica de las raíces imaginarias.

  • Capítulo V: Teoría trigonométrica del imaginarismo.

  • Capítulo VI: Construcción gráfica de las raíces de la unidad.

  • Capítulo VII: Graduación infinita de cantidades imaginarias.

  • Capítulo VIII: Sobre exponenciales imaginarias.

Sumario de los últimos tres Libros.

Sumario del trabajo completo.

Traducción del Capítulo sobre la Lógica Trascendental de la Crítica de la razón pura.

Glosario de los términos empleados en el libro.


Rey reconoce la influencia en el tratado de Adrien-Quentin Buée (1748-1826), emigrado francés a Gran Bretaña tras la Revolución Francesa, quien había escrito una memoria sobre las cantidades imaginarias que constituye uno de los últimos intentos de la aceptación de los números negativos e imaginarios como nociones válidas sobre bases metafísicas. Bajo esa concepción cabe situar, por ejemplo, lo que Rey afirma varias veces en su libro: “los números imitan al espacio, aunque son de naturaleza tan diferente” (apoyándose en una frase de Pascal).

En la Introducción se vierten diversas ideas sobre Matemáticas, el concepto de cantidad imaginaria, su historia, la necesidad de la Metafísica en las Matemáticas, etc. Trata por ejemplo de la exactitud de las Matemáticas y afirma que en el futuro, debido a la aplicación de la Filosofía Trascendental, no quedarán misterios matemáticos sin resolver; y presenta el imaginarismo (scandalum mathematicum) como uno de esos puntos oscuros. También asegura que nuestras mentes son más matemáticas de lo que creemos, ya que nuestras estructuras mentales se apoyan más en la verdad lógica de los juicios y proposiciones, en contraposición al lento avance experimental del conocimiento empírico.

Pero me parece que alguna de las cosas que más podría sorprender al matemático es, por ejemplo, lo que Rey llama “síntesis de la unidad consigo mismo” -en la idea, creo, de la axiomática de los números naturales de Peano- que le lleva a describir 11 como “la esterilidad de la unidad bajo el algoritmo de la producción”; y otras cosas de ese estilo en similar lenguaje barroco. Asimismo podría extrañar la defensa de la Metafísica como elemento fundamental de las Matemáticas, sosteniendo que los mejores matemáticos de la historia, como Descartes, Pascal, Newton, Leibniz o Euler fueron también grandes metafísicos, y que no habrían llegado a su cumbre de no haber sido tan profunda su visión filosófica.

La Introducción es sin duda la parte más interesante de la obra. En el Libro I explica que las cantidades imaginarias deben entenderse mediante la aplicación del concepto de cualidad; esto es -según él-, algo añadido a la cantidad, una especie de atributo modificador, de modo que la propiedad que tienen los números como representación de la cantidad se vea complementada también en su aspecto geométrico, y pone como sencillo ejemplo de ello el ya conocido caso de los números negativos. Con estas premisas comienza la interpretación cualitativa del signo de la cantidad imaginaria, , que combina con el problema de la extracción de raíces cuadradas de números negativos, organizando lo que en mi modesta opinión considero un tremendo embrollo filosófico-matemático. Valga como botón de muestra lo que escribe en la página 51:


En el anterior capítulo he considerado el símbolo como un signo de limitación ó de neutralidad perfecta, entre la afección positiva y la negativa, ó como la expresión más propia de un grado máximo de indiferencia respecto de aquellas direcciones fundamentales. Sin embargo, por su forma radical revela el signo un origen algorítmico potencial, y simboliza la totalidad de una teoría inmensa, de la cual no son sino determinaciones particulares los tres momentos típicos representados por los signos +, -, ± correspondientes a los tres conceptos, realidad, negación y limitación. En la teoría de la potencialidad, ó sea de la graduación, está el germen de la teoría cualitativa.
En los Libros II, III y IV realiza operaciones con números imaginarios, utilizando las palabras: síntesis para la adición, producción para la multiplicación y graduación para elevar a potencias; estableciendo que las dos primeras son operaciones sincategoremáticas, al considerar conjuntamente sus aspectos cuantitativos y cualitativos. El Libro IV me parece el más interesante de ellos, y permite apreciar que el autor debería tener conocimientos matemáticos relativamente buenos. Por ejemplo, para calcular , hace la descomposición:

y usa luego la fórmula generalizada del binomio de Newton; aplica la fórmula de Euler:



para llegar a:



etc.


Aunque alterna el aparato matemático con expresiones tan extrañas como “Inevolubilidad de la unidad positiva bajo el concepto de calidad. Número e cualitativo” o definiciones tan sorprendentes como la recogida para el número e ya hace años por el Prof. Etayo Miqueo ([3]):
… es la potencia infinita obtenida por la evolución infinita de la unidad estéril, fecundada por la adición de un elemento infinitesimal. Expresa el máximo desarrollo a que puede aspirar la unidad con el mínimun de actividad evolutiva, con una evoluvilidad cuantitativa infinitamente pequeña. Aunque encerrado en el abismo infinitesimal que media entre los números dos y tres, en los primeros grados de la escala natural numérica, sin que fuera posible adivinar a priori que en este punto singularísimo había de parar la evolución infinita del binomio radical 1+1/, el cálculo revela su existencia, dando al propio tiempo una prueba patente de cuanto se mezcla la noción del infinito en las someras aplicaciones acerca de la cantidad.
Creo que podría decirse como resumen que existe un apreciable intento de introducir los números imaginarios, pero desde supuestos filosóficos y, en no pocos casos, mediante extraños argumentos ajenos a las matemáticas. A lo largo del texto existen además diversos razonamientos y conclusiones en relación con la lógica, el imaginarismo, la crítica kantiana, etc., en los que no me he detenido, que se encuentran en la línea de su obra Elementos de Lógica.


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