Rey, Reyes y la introducción de la lógica matemática en España



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9. Reyes y la lógica matemática

La lógica matemática, que en estado incipiente y bajo una perspectiva filosófica intuye José María Rey y Heredia en sus Elementos de Lógica (1853), que luego renovaría en posteriores ediciones, es introducida en su verdadera concepción (matemáticamente) por Ventura Reyes y Prósper en la última década del siglo. Aunque, de nuevo, también García de Galdeano estaba al tanto de esta moderna teoría, ya que en 1891 escribe una reseña del primer volumen de la obra Vorlesungen über die Algebrader Logik (1890), de Ernest Schröder, y un año después de los Principi di Logica espositi secondo la dottrine moderne, de Albino Nagy, que aparecerían en El Progreso Matemático.

El interés de Reyes por la lógica surge a raíz de la lectura de otro libro anterior de Schröder: Operationskreis des Logikkalküls (1877), que conoce en su viaje a Alemania, y a partir de entonces comienza a escribir en nuestro país sobre ello. Sin embargo, a diferencia de cómo sucede con las geometrías no euclídeas, sus artículos no contribuyen prácticamente a su progreso, puesto que se limita casi en exclusiva a dar información de las obras sobre lógica más importantes, así como de sus autores, y a la difusión de los avances producidos en este campo.

Antes de ocuparme de sus trabajos, y para intentar comprender mejor el pensamiento de Ventura Reyes, probablemente convenga saber que también quiso que los alumnos de segunda enseñanza tuvieran noticia de las recientes tendencias. Así, en el programa de matemáticas que presenta en 1888 a oposiciones de Instituto, figura un primer capítulo que se ocupa de las nuevas ideas acerca de las matemáticas de Gauss, Staudt, Riemann, Lobachevski, Bolyai, Boole, Grassmann…, que sitúa en su contexto histórico; además de otros temas en los que se inicia el estudio de las sustituciones (según Cauchy y Galois), la lógica (de acuerdo a las ideas de Boole, Grassmann, Peirce…) y las geometrías no euclídeas (Bolyai, Lobachevski…)9.

Los escritos de Reyes sobre lógica son siete, todos ellos publicados en El Progreso Matemático entre 1891 y 1893, a los que hay que añadir dos más de los que luego me ocuparé. Los siete primeros son los artículos [11] a [17] reseñados en la Bibliografía.

Haré a continuación una concisa descripción de estos breves trabajos (todos ellos de cuatro páginas, salvo el último que es de tres).

El primero ([11]) trata de las máquinas lógicas construidas hasta entonces por Cuninghame, Venn, Marquand…; especialmente de la debida a este último según las teorías de los lógicos Ladd y Mitchell. Y se completa con una relación de los lógicos contemporáneos, asunto sobre el que demuestra tener una buena información.

Hay varios trabajos referidos a algunas de las principales figuras de la lógica en aquel momento y a su desarrollo en determinados países: son los artículos [12] y [14], en donde se ocupa de los lógicos americanos Ladd-Franklin, Peirce y Mitchell, y [13] y [17], en los que se centra en el alemán Schröder y los italianos Peano y Nagy, respectivamente. Entre otras cuestiones, trata de la notación y de la introducción de nuevas operaciones lógicas, problemas entonces de importancia. Pero sorprende que todo ello se presente suponiendo que el lector ya conoce el tema (y Reyes se limite a dar una información complementaria), cuando era casi seguro que eso no sucedía; es más, probablemente en la mayoría de las ocasiones ni siquiera sería capaz de valorar en su justa medida lo novedoso del asunto ni su favorable repercusión en la construcción del edificio matemático. No resulta fácil comprender, por consiguiente, las razones por las cuales el autor no hace una exposición introductoria que permita al lector no tener que recurrir a las obras a las que hace referencia.

En el artículo [16] analiza el papel fundamental de la aritmética dentro de las matemáticas, ya que, mientras por ejemplo en la geometría se pueden cambiar algunos axiomas (como el de las paralelas) y se obtienen otros sistemas geométricos (como las geometrías no euclídeas de Gauss, Lobachevski y Bolyai), no cabe hacer eso con la aritmética, según argumenta Poincaré. Resulta así -sigue diciendo- que la aritmética “es tan invariable como las leyes del juicio, es en una palabra, una rama de la lógica pura”; criterio según el cual se esclarece el concepto de número entero, gracias a las aportaciones, inicialmente de Grassmann, y luego de Dedekind y Cantor, con las definiciones precisas de número finito e infinito. Afirma de este modo que quedan establecidas las bases fundamentales de los números enteros, de las cuales se deducen las correspondientes a los fraccionarios (según las contribuciones de Tannery, Méray, Stolz y Peano) y de los inconmensurables (con los trabajos de Tannery, Dedekind y Weierstrass). Después de leído todo el artículo parece evidente que Reyes está al corriente de las cuestiones relativas a la aritmetización del análisis y a la fundamentación de los números reales, que eran estudiadas especialmente en la década de 1870 a 1880, y sobre las que da a conocer sucintamente alguna de sus claves.

También el artículo [15], en el que intenta aportar ideas originales en vez de ser meramente descriptivo, es de nuevo tan esquemático que resulta imposible entender los criterios que establece para clasificar en siete grupos los escritos lógico-matemáticos (clasificación que hoy en día podría parecer algo arbitraria). Esa catalogación -según confiesa- es un primer paso para su proyecto de elaborar una historia de la lógica simbólica, algo no hecho hasta entonces, pero que él cree que podrá realizar por conocer lo existente sobre ello en las bibliotecas españolas (que no es mucho) y, principalmente, por haber mantenido correspondencia con Ladd, Schröder, Peirce, Venn, Murphy, Kempe, Voight, Johnson, Mac-Coll, Naggy y Peano, quienes además le han enviado artículos suyos en relación son su propósito.

Me referiré ahora a los otros dos artículos de lógica (el segundo dividido en dos partes) no publicados en El Progreso Matemático ([22]), sino en la revista Naturaleza, Ciencia é Industria (“Revista general de Ciencias é Industrias”, Madrid: Imprenta Manuel Tello; continuación de La Gaceta Industrial, La Ciencia Eléctrica y La Naturaleza, refundidas). Son los siguientes:


  • I. “La lógica simbólica, I”, Vol. I (1891), nº 7, pp. 187-188.

  • II. “La lógica simbólica, II”, Vol. I (1891), nº 9, pp. 254-256 y Vol. I (1891), nº 11, pp. 319-321.

Los trabajos I y II están editados en el mismo año (1891) que [11] y [12], y por los mismos meses: [11] en septiembre, [12] en diciembre, I en octubre y II en noviembre (la primera parte) y diciembre (la segunda); y suponen una novedad con respecto a todos los demás, pues constituyen en cierto modo una presentación general de la lógica matemática para lectores desconocedores del tema (lo que se había echado en falta en los otros). Tanto el artículo I como las dos partes de II finalizan con la palabra “continuará”; sin embargo, con ello concluye las publicaciones acerca de la introducción de la lógica simbólica, tanto en esta revista como en cualquier otra. Sorprende pues esa interrupción repentina de una exposición general divulgativa de sus nociones fundamentales, cuando en cambio prosigue las publicaciones sobre lógica en El Progreso Matemático, pero ocupándose de otros aspectos, en todo caso complementarios.

En los artículos I y II demuestra, por otra parte, estar al corriente de las contribuciones de Boole, Mitchel, Peirce, Schröder, De Morgan…, y presenta, como se ha dicho, los conceptos básicos: proposiciones, operaciones entre ellas y sus propiedades, implicaciones, etc., aunque en ocasiones -como parece natural-, con una notación algo diferente a la actual [por ejemplo, a(=b significa a implica b ]. En todo caso -repito-, no terminará esa presentación general.

Pero esa última consideración también se pone de manifiesto en otros momentos de su labor introductoria de la lógica matemática en España. Me refiero a estos dos: en primer lugar, aunque en [11] y [12] dice estar traduciendo los Vorlesungen de Schröder, no parece que llegara a terminar esa tarea; y, en segundo, tampoco finaliza su proyecto de escribir una historia de la lógica, declarado en [15], pues se limita a realizar una clasificación -a su juicio- de las publicaciones sobre este tema. Con todo, nada de ello parece que deba ensombrecer un ápice el relevante papel que juega al importar esas ideas a nuestro país y destacar su importancia teórica dentro del edificio matemático.


10. Trío de Reyes

Cuando a lo largo de este artículo me he estado refiriendo a Rey Heredia y a Reyes y Prósper, probablemente a algún lector le haya venido a la cabeza otro “Rey”: Julio Rey Pastor (1888-1962), el mejor matemático español de la primera mitad del siglo XX y su líder indiscutible. Y aunque posterior a nuestros dos protagonistas -nació 70 años más tarde que el primero y 25 después del segundo- quería finalizar estas páginas con unas palabras suyas sobre aquellos.

Al primero se refiere en el discurso inaugural del V Congreso de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias, sección 1ª (Ciencias Matemáticas), celebrado en Valladolid en 1915, en donde elogia la tarea de Rey y Heredia por haber contribuido al renacimiento de la ciencia española. Y menciona en concreto su obra Teoría Trascendental de las Cantidades Imaginarias, en la que introduce los números complejos en nuestro país, aunque -confiesa- de una manera elemental y desde un punto de vista filosófico y no matemático.

También alaba el trabajo de Reyes -que considera normal en un profesor extranjero, pero extraordinario para uno español- en estos términos ([19]):


La generosa exuberancia hispánica, disculpable por la patriótica sed que todos sufrimos de compatriotas famosos, se apresurará a calificar de genio a este matemático precursor; calificativo que haría sonreir a cualquier profesor ultrapirenaico al medir fríamente el valor absoluto de las ingeniosas notas elementales firmadas por nuestro colega toledano; pero mal juez será siempre el que interprete en abstracto los hechos del frío sumario escrito, sin interesarse por el caso concreto del encausado, con todo su entorno de circunstancias vitales; y así resulta en este caso: que quien sería fríamente calificado como profesor corriente y normal, juzgado fuera de aquí, es en verdad genial, precisamente por ser normal afuera y por tanto excepcional aquí dentro; por ser distinto de todos sus colegas; y por parecerse a los hombres de otro mundo más que a los del propio.
Esta última cita corresponde a la contestación del discurso de recepción de Ricardo San Juan en la Real Academia de Ciencias (1956). Terminaré el artículo con unas palabras de San Juan -acaso exageradas- justamente del anterior discurso, con la que elogiosamente se refiere a su profesor de matemáticas del Instituto de Toledo, Ventura Reyes y Prósper ([19]):
Profundas y elegantes han sido todas sus creaciones, y algunas trascendentales para el desarrollo de la Ciencia. La demostración del teorema de los triángulos homológicos, sin la cual no hubiera podido Schur desarrollar su teoría de los elementos ideales, cerró definitivamente la fundamentación de la geometría proyectiva, iniciada por Klein y trabajosamente desarrollada por Pasch.


Bibliografía
[1] Bastons, C. (1996). “A propósito de los 150 años de la Enseñanza Media en España”. Cátedra Nova, nº 3, pp. 21-23.

[2] Bernalte, A. y Llombart, J. (1995). “The effect of the implantation of non-Enclidean geometries on the change of paradigm and its repercussion in Spain”, en Ausejo, E. y Hormigón, M. (Eds.), Paradigms and Mathematics. Madrid: Siglo XXI, pp. 391-406.

[3] Etayo, J. J. (1990). De como hablan los matemáticos y algunos otros. Discurso inaugural del año académico 1990-1991. Madrid: Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.

[4] Monlau, P. F. y Rey, J. M. (1849). Curso de Psicología y Lógica. Madrid: Gaspar y Roig.

[5] Moreno, A. (1988). “De la física como medio a la física como fin. Un episodio entre la Ilustración y la crisis del 98”, en Sánchez Ron, J. M. (Ed.), Ciencia y sociedad en España: de la Ilustración a la Guerra Civil. Madrid: CSIC/El Arquero, pp. 27-70.

[6] Peralta, J. (1999). La matemática española y la crisis de finales del siglo XIX. Madrid: Nivola.

[7] Peralta, J. (2000). “La Matemática madrileña en el panorama español de 1800 a 1936”, en Escribano, M. C. (Coord.), Matemáticos Madrileños. Madrid: Anaya, pp. 183-230.

[8] Picavet, F. (1891). Les idéologues. En la dirección web: www.uquebec.ca/zone/30/Classiques_des_Sciences_sociales/index.html

[9] Rey y Heredia, J. M. (1865). Teoría Trascendental de las Cantidades Imaginarias. Madrid: Imprenta Nacional.

[10] Rey y Heredia, J. M. (1872). Elementos de Lógica. Madrid: Imprenta y Estereotipia de M. Rivadeneyra (10ª edición).

[11] Reyes, V. (1891). “El raciocinio a máquina”. El Progreso Matemático, Tomo I, nº 9, pp. 217-220.

[12] Reyes, V. (1891). “Cristina Ladd-Franklin. Matemática americana y su influencia en la lógica simbólica”. Prog. Matem., Tomo I, nº 12, pp. 297-300.

[13] Reyes, V. (1892). “Ernesto Schroeder. Sus merecimientos ante la lógica, su propaganda lógico-matemática, sus obras”. Prog. Matem., Tomo II, nº 14, pp. 33-36.

[14] Reyes, V. (1892). “Charles Santiago Peirce y Oscar Howard Mitchell”. Prog. Matem., Tomo II, nº 18, pp. 170-173.

[15

] Reyes, V. (1892). “Proyecto de clasificación de los escritos lógicos-simbólicos, especialmente de los post-boolianos”. Prog. Matem., Tomo II, nº 20, pp. 229-232.



[16] Reyes, V. (1892). “Nuevo modelo de considerar la aritmética”. Prog. Matem., Tomo III, nº 25, pp. 23-26.

[17] Reyes, V. (1893). “La Lógica simbólica en Italia”. Prog. Matem., Tomo III, nº 26, pp. 41-43.

[18] San Juan, R. (1950). “La obra científica del matemático español D. Ventura de los Reyes y Prósper”. Gaceta Matemática, 1ª serie, Vol. II, nº 2, pp. 37-41.

[19] San Juan, R. (1956). La abstracción matemática. Discurso de recepción. Madrid: Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.

[20] Simón, J. (1992). Historia del Colegio Imperial de Madrid. Madrid: Instituto de Estudios Madrileños.

[21] Val, J. A. del (1966). “Un lógico y matemático español del siglo XIX: Ventura Reyes y Prósper”. Revista de Occidente, nº 35, pp. 252-261.

[22] Vega, L. (2002). “Ventura Reyes y Prósper” (1863-1922) y la introducción de la nueva lógica en España”. Asclepio, Vol. LIV, nº 2, pp. 181-210.

[23] Viñao, A. (1994). “Los institutos de segunda enseñanza”, en AA. VV., La educación en la España Contemporánea (1789-1975): Historia de la Educación en España y América, Vol. 3. Madrid: SM/Morata.




1 Uno de los primeros Institutos que nacen en España es el Vicens Vives en Gerona. Su director, J. González de Soto, era profesor de ([1]): “psicología, ideología, lógica, moral, religión y física experimental” (!).

2 Los Principia de Newton datan de 1687.

3 Monlau fue catedrático de Filosofía en el Instituto San Isidro de Madrid, director del Museo Arqueológico y miembro de las Academias de la Lengua, Ciencias Morales y Medicina ([20]).

4 Según el Plan Pidal, la segunda enseñanza, elemental y superior, constituían la Facultad de Filosofía. En ese mismo Plan se crean los Institutos Provinciales de Segunda Enseñanza, dependientes de la Universidad, pues aquel nivel educativo tenía la consideración de primer ciclo universitario; una vez finalizado, daba lugar al título de Bachiller en Filosofía, que facultaba para el ejercicio de la enseñanza. Con la Ley Moyano, en cambio, los Institutos se separan de la Universidad, y el nuevo título, Bachiller en Artes, es de rango inferior, pues solo sirve para el acceso a los títulos universitarios.

5 Fernández-Vallín fue director del Instituto (bajo su mandato se cambió el nombre de Noviciado por el de Cardenal Cisneros), miembro de las Academias de Ciencias y de la Historia, Consejero de Instrucción Pública, secretario de la Comisión de Relaciones Exteriores entre España y las Repúblicas de América, etc. Es autor de numerosas publicaciones, entre las que se encuentran La Educación popular en España y Geografía, Matemática o elementos de Cosmografía, su discurso de recepción en la Real Academia de Ciencias: Cultura científica en España en el siglo XVI; además de diversos libros de matemáticas, como Aritmética para niños, Geometría para niños, Elementos de Matemáticas y diversos manuales de texto para la segunda enseñanza, la mayor parte de ellos con varias ediciones.

6 Aunque en buena parte de la descripción de esta obra y de las otras que se analizan en este artículo me referiré a citas textuales o casi textuales, para facilitar la redacción y la lectura y además poder utilizar con más libertad el castellano y la ortografía actuales, no las entrecomillaré, salvo en algún caso especial en que desee enfatizar determinados aspectos del texto original.

7 En Mathematische Annalen escribían matemáticos de la talla de Hilbert, Cantor o Lie.

8 En esta revista publica igualmente ”Sur les propiétés graphiques des figures centriques” (1888), de geometría proyectiva, en donde prueba un teorema sobre triángulos homológicos en una carta dirigida a Pasch -a la que éste contesta en la misma revista-, lo que luego Pasch incluiría en su obra Lecciones de geometría moderna citándole elogiosamente.

9 Me permito sugerir al lector que considere si la pretensión de introducir de manera comprensible a los alumnos de enseñanza secundaria algunas ideas sobre las nuevas tendencias de las matemáticas -tarea nada fácil, por supuesto-, sería factible hoy en día, más de un siglo después.
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