Tema 5: desarrollos en serie introduccióN



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TEMA 5: DESARROLLOS EN SERIE

1. INTRODUCCIÓN
En la teoría de funciones de variable compleja, tienen especial importancia las sucesiones y series funcionales, especialmente las series de potencias. Se pretende expresar las funciones analíticas mediante series. Estas expresiones muestran importantes propiedades de las funciones analíticas.
Se verá la extensión al campo complejo del concepto de desarrollo en serie de Taylor visto para funciones reales. Y se verá también la noción de serie de Laurent, que generaliza la serie de Taylor.
Antes de estudiar esos desarrollos se comenzará con un resumen de las principales definiciones y teoremas sobre series numéricas de complejos, series funcionales y en particular las series de potencias.

2. SERIES NUMÉRICAS
Sea una serie de números complejos.

a) Se dirá que esta serie tiene por suma un nº complejo S, si , siendo
b) Criterio de Cauchy

es convergente / es
c) En particular, tomando q = p+1, resulta:

Condición necesaria para la convergencia de es que


d) Si , con an ,bn, N, es inmedidato que:

es convergente y son convergentes”



Y además, en este caso, si , , resulta: S = A+Bi.
e) se dice absolutamente convergente lo es

es absolutamente convergente y son absolutamente convergentes.

es absolutamente convergente es convergente.


3. SERIES FUNCIONALES
Sea una serie de funciones

Se designará por a y por a


a) Definiciones


  • Se dirá que la serie funcional converge en un dominio D, si converge .




  • Se dice que S(z) es la suma de la serie en D, si para todo , es

Es decir: converge en D y tiene por suma S(z) en D 

Dado , / es

Dado , / es

es



  • Se dice que es absolutamente convergente en D , si converge en D.




  • La convergencia absoluta en D implica la convergencia en D.




  • Se dice que converge uniformemente en D

/ es


  • La convergencia uniforme en D implica la convergencia en D.



b) Condición de Cauchy para la convergencia uniforme
converge uniformemente en D

/ , con q>p es


c) Criterio de Weierstrass
Si es una serie numérica real convergente, de términos no negativos y , y , entonces converge uniforme y absolutamente en D”.
Demostración:

Sea . convergente / es

Luego:

Por tanto converge uniforme y absolutamente en D.


d) Teoremas 1,2 y 3
Si converge uniformemente en D y las son respectivamente

  • continuas en ( continuas en D )

  • analíticas en D ( por tanto integrables en D)

  • analíticas en D


entonces la suma S(z) es respectivamente:




  • continua en ( continua en D)

  • integrable en D y contorno en D:

  • analítica en D. Además que converge uniformemente en D

4. SERIES DE POTENCIAS
Según se verá más adelante, una propiedad fundamental de las funciones analíticas es que pueden representarse por medio de series de potencias.

Y recíprocamente, salvo excepciones triviales, toda serie de potencias convergente define una función analítica.

Por ello las series de potencias son herramienta fundamental en el estudio de las funciones analíticas.
a) Definición
Una serie de potencias en torno al punto z0, es una serie funcional de la forma:

C
Se trata de discutir su convergencia y estudiar propiedades de la suma como función de z.

Como de se pasa a la por un simple cambio de origen, se estudiará exclusivamente esa segunda serie.


b) Teorema de Abel
Si converge para , entonces converge absolutamente con

(Se omite la demostración, que se basa en el criterio de la mayorante de Weierstrass).

Como consecuencia: Si no converge para , tampoco para z tal que .
c) Radio de convergencia

Es inmediato, según se ha dicho que la serie de potencias converge siempre para z = 0. Puede ocurrir que converja C.

Si no converge para un , tampoco para los tales que .

Luego el conjunto de los radios de los círculos en los que converge la serie, es un conjunto acotado. Por tanto tiene extremo superior R finito.

Por el teorema de Abel con la serie no converge.

( Pues de lo contrario no sería R el extremo superior ).

Para la serie puede converger o no.

Al nº R se le denomina, radio de convergencia de la serie.

Al círculo abierto : círculo de convergencia de la serie.

Si la serie converge C se dirá que



d) Determinación del radio de convergencia


  • El radio de convergencia de la serie , viene dado por la fórmula de Hadamard: .

Donde si se entiende que es respectivamente.

  • Si existe o , entonces también



Demostración

Sea

Basta aplicar el criterio de la raíz a la serie

Converge / Converge /

Diverge / Diverge /

Luego el radio de convergencia es c.q.d.
e) Ejemplo
Estudiar la convergencia de la serie

Es . Luego

Luego y por tanto la serie converge y además absolutamente en el círculo abierto:
f) Convergencia uniforme
Puede demostrarse que la serie , converge uniformemente en todo círculo

cerrado interior al de convergencia.



g) Series formadas por derivación término a término: convergencia
Sea y R su radio de convergencia.

El radio de convergencia de es:


Luego: la serie formada por las derivadas de los términos tiene el mismo círculo de convergencia que la original.
Repitiendo el proceso: R es también el radio de convergencia de la serie formada por las derivadas de cualquier orden k de los términos de la serie original.

h) Aplicando los teoremas sobre continuidad, derivación e integración citados en general para las series funcionales se obtendrían los resultados correspondientes para las series de potencias, en el interior del círculo de convergencia, por ser los términos funciones enteras y ser la convergencia uniforme en dicho círculo.
Será:


  • La suma S(z) de una serie de potencias es continua en el interior del círculo de convergencia.




  • La suma S(z) de la serie es integrable en el interior del círculo de convergencia y para todo contorno C interior a dicho círculo es:



Incluso si además g(z) es continua sobre C



  • La suma S(z) de la serie es analítica en el interior D del círculo de convergencia.

Además ( Es decir, la derivada de la suma es la suma de la serie formada por las derivadas de los términos ).


  • Análogamente para las derivadas sucesivas.






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