Trabajo pdV y trabajo al eje 3 Trabajo eléctrico y otras formas de trabajo 5



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Capítulo 2. Energía




Trabajo 1

Trabajo pdV y trabajo al eje 3

Trabajo eléctrico y otras formas de trabajo 5

Trabajo útil 6

Diagrama p-V 7

Energía 8

Energía mecánica, energía interna y entalpía 9

Calor. Balance energético de una masa de control 10

Transmisión de calor 13

Calorimetría 15

Modelo de sustancia perfecta 16

Evolución adiabática y sin fricción de un gas perfecto 18

Sistemas abiertos. Balance másico de un volumen de control 22

Balances másico en mezclas 24

Balance energético en sistemas abiertos 25

Balance de cantidad de movimiento en sistemas abiertos 26

Llenado y vaciado de depósitos a presión 30

Volumen de control estacionario con una entrada y una salida 36

Ecuación de Bernoulli generalizada 37

Estado total o de remanso 38

Recapitulación 40

Cuestiones 40

Problemas 41

Experimentos 46


La energía es un concepto relacionado con la posición y el movimiento de las partículas que componen un sistema material, que interesa estudiar por dos motivos principales, uno básico y otro aplicado:



  • La energía es una de las pocas magnitudes físicas conservativas, i.e. que ni se puede crear ni destruir en un sistema aislado (lo que se conoce como principio de conservación de la energía o primer principio de la termodinámica).

  • La energía puede proporcionar servicios útiles como iluminación artificial, calefacción, cocción de alimentos, movimiento de materiales, transporte de personas y mercancías, comunicaciones y proceso de datos, refrigeración...

El nombre de energía se debe a T. Young (1805), quien lo acuñó para referirse al contenido en vis viva (energía cinética) y vis morta (energía potencial) adquirido por una masa al realizar trabajo sobre ella. En este capítulo se va a analizar el balance energético de sistemas genéricos, su relación con el trabajo y el calor que puedan transmitirse a través de la frontera del sistema, el balance másico en sistemas de flujo (incluyendo mezclas), y una de las aplicaciones más generales de la conservación de energía en el flujo de un fluido: la ecuación de Bernoulli.


Advertimos antes de nada, de que la energía en sí no interesa tanto como la energía utilizable, que es una combinación de la energía y la entropía, que se llama exergía, y que se estudia en el capítulo siguiente. Es esta energía utilizable (i.e. la capacidad de producir trabajo u otro cambio), su escasez y dificultad de aprovisionamiento, y sus efectos secundarios dañinos (contaminación, accidentes), lo que realmente preocupa a la sociedad actual y hace que los temas de política energética estén en candelero, de manera análoga al problema del agua utilizable (para bebida o para riego), y no del agua en general, pues la cantidad de agua bruta en la Tierra permanece también invariable desde hace miles de millones de años.

Trabajo


En lugar de empezar describiendo qué es la energía (e.g. teorema de Noether-1918), qué formas de energía hay (cinética, potencial, elástica, química, nuclear, eléctrica, térmica...), para qué sirve la energía, etc., partimos del concepto mecánico de trabajo, W, como producto de la fuerza que actúa sobre un punto por el desplazamiento del mismo, W≡F·dx, recordando que tanto la fuerza como el desplazamiento son magnitudes vectoriales, y el trabajo es un escalar (la integral de camino del producto escalar de esos dos vectores). En termodinámica sólo se tienen en cuenta para este trabajo mecánico las fuerzas de contacto (i.e. las de superficie) y no las volumétricas; de estas últimas sólo se considera la fuerza gravitatoria, que se contabiliza como energía potencial en un campo de fuerzas estacionario, y no se incluye en W=F·dx. Pese a que el trabajo es una integral entre dos estados, dependiente del camino o evolución que se siga, y por tanto no es una función de estado (sólo las fuerzas conservativas dan lugar a trabajos independientes del camino), en este libro se va a usar la nomenclatura dW=F·dx para referirse a una cantidad de trabajo infinitesimal, y no δW=F·dx como hacen otros autores.
En termodinámica no se consideran sistemas puntuales, y la integral del trabajo debe extenderse a todos los puntos de la frontera del sistema; aún más, se va a restringir a la frontera impermeable (el trabajo en la frontera permeable se contabilizará aparte). Otra diferencia es que la termodinámica sólo considera el trabajo de las fuerzas de superficie (en la frontera) y no las fuerzas volumétricas como el peso, que se contabilizan como variaciones de energía potencial y no como trabajo. Por último, para evitar ambigüedades en el caso de que la frontera sea disipativa, se tomará el límite interior de la frontera, quedando por tanto la definición de trabajo termodinámico como:


Trabajo termodinámico:




\* MERGEFORMAT (2.)

Ejercicio 2.1. ¿Se transmite trabajo cuando se aprieta la mano sobre la mesa, con deslizamiento de la mano?


Solución. No, no se transmite; la mano hace trabajo pero la mesa no lo recibe. La idea intuitiva es que hay que hacer trabajo para mover la mano apretada sobre la mesa, pero la mesa no recibe trabajo puesto que, aunque la mesa ha de ejercer una fuerza igual y contraria a la que le hace la mano (tercera ley de Newton), el desplazamiento de la frontera interior (mesa) es nulo, no así el de la frontera exterior (mano); por eso sólo es aplicable la primera igualdad de y no la segunda.
El trabajo que sale de la mano (y no entra en la mesa) da lugar a una pérdida de energía mecánica por fricción que tiende a aumentar localmente la temperatura por conversión de la energía microscópica de deformación elastoplástica de la interfase en energía cinética microscópica local, lo que comúnmente se llama 'generación de calor'. Esa energía térmica (que no calor) debida a la fricción, se disipa por transmisión de calor (i.e. debido al gradiente de temperatura) hacia dentro y hacia afuera de la interfase, proporcionalmente a las transmisividades térmicas respectivas.
Aunque las integrales que suelen aparecer en termodinámica son muy simples (e.g. del tipo (1/xa)dx) conviene que el alumno repase las ideas básicas del cálculo diferencial e integral, para que le resulten familiares el concepto de integral (suma), diferencial (incremento infinitesimal), derivada (cociente incremental, pendiente), etc.
Nótese que, con los signos puestos en (1.1), el trabajo es positivo si el desplazamiento es hacia el interior, i.e. si hace entrar energía al sistema. Aunque éste es el criterio de signos recomendado por los organismos científicos internacionales desde 1948, todavía hay autores que usan el convenio decimonónico de considerar trabajo positivo el que hace el sistema (no el que recibe), pues la termodinámica nació en el siglo XIX para producir trabajo a partir del calor (no para consumirlo).

Trabajo pdV y trabajo al eje


Hay muchas formas de realizar trabajo sobre un sistema termodinámico (depende del tipo de fuerza aplicada y del tipo de sistema), pero el más importante es el trabajo de compresión / expansión en sistemas fluidos cerrados (i.e. de masa de control, MC), debido al desplazamiento de una fuerza uniforme por unidad de área en la frontera (la presión), el cual se llama 'trabajo pdV' y resulta ser:


Trabajo de compresión-expansión

para MC (trabajo pdV):






\* MERGEFORMAT (2.)

siendo p la presión interior del sistema, que ha de ser uniforme, y dV la variación de volumen del sistema. No ha de haber más fuerzas que las de presión, tal que, dF=pdA y dFdr=pdAdr=pdV, y no ha de variar la energía mecánica del sistema (no se acelere, ni suba o baje, ni se deforme elásticamente ninguna pieza interior, etc.).


Ejercicio 2.2. Dentro de un cilindro horizontal de 10 cm de diámetro hay un émbolo que encierra 1 L de aire en equilibrio con el exterior. Calcular el trabajo que hay que hacer para empujar el émbolo hasta reducir el volumen del gas a la mitad.
Solución. Empezamos haciendo un esquema representativo del sistema, los estados y la evolución.

Fig. E2.2. Esquema de la configuración, mostrando el proceso y las fuerzas sobre el pistón.


La elección de sistema termodinámico es libre; la hace el observador. Si elegimos como sistema el émbolo, en un instante genérico el balance de fuerzas (también llamado balance de momento o de cantidad de movimiento), en su componente longitudinal que es la única que importa aquí, será:

Ahora se introducen las hipótesis simplificadoras: movimiento lento y sin fricción. El término de la izquierda, la aceleración del émbolo, será despreciable (ni siquiera nos indican la masa del émbolo). El primer término de la derecha es la fuerza que hace el gas encerrado, que irá incrementándose durante el proceso ya que, si el movimiento es lento, podremos suponer que el proceso es isotermo (tiene tiempo de alcanzar el equilibrio térmico a cada paso), y de la ecuación de los gases ideales, pV=mRT, se concluye que pV=cte. El segundo término de la derecha es la fuerza que hace el aire atmosférico, que se supone a presión constante p0; hay que tener cuidado de no olvidar este término (fallo muy corriente en principiantes). El tercer término de la derecha es la fuerza con la que tenemos que empujar el émbolo (la fuerza que hay que hacer), y el último término es la fuerza de rozamiento con las paredes del cilindro, que supondremos despreciable (el enunciado no da información al respecto). Nótese la elección de signos en la ecuación anterior, donde se ha considerado la dirección positiva del eje x hacia la derecha.
El trabajo que hay que aportar será pues:

Nótese que se ha empezado poniendo ds para el desplazamiento, para evitar poner dx al principio, lo cual se ha hecho después, y se ha sustituido F por su expresión anterior. Hay que llevar cuidado con los signos; WF es el trabajo que hace la fuerza F, pero el gas recibe más trabajo (¿cuánto? 69 J).
Además del trabajo de compresión / expansión en sistemas cerrados, aparece a menudo en los problemas de ingeniería térmica el trabajo de compresión / expansión a través de ejes en sistemas de flujo de fluidos, que se contabiliza como la integral del par motor M por el desplazamiento angular d, o más corrientemente en función de la velocidad angular , W=Md=Mdt.
Ejercicio 2.3. Calcular el trabajo comunicado a 1 L de agua por un agitador que gira a 3000 rpm con un par resistente de 1 N·m.
Solución. Empezamos haciendo un esquema representativo del sistema.

Fig. E2.3. Esquema de la configuración.


Se trata de trabajo al eje, i.e. el volumen del sistema (el agua) no varía y por tanto no hay pdV. El trabajo comunicado será W=Mdt, con M=1 N·m y =23000/60=314 rad/s; es decir, el agua recibe una potencia de , y por tanto un trabajo de 314 J cada segundo.
Nótese que el agua aumentará su temperatura (i.e. se calentará) sin recibir calor, por disipación interna de energía cinética por fricción viscosa. ¿A qué velocidad se calentaría? ¿Hasta qué temperatura se llegaría?

Trabajo eléctrico y otras formas de trabajo


Otros tipos de trabajo de interés son el trabajo necesario para acelerar una masa m, , el trabajo necesario para elevar una masa en el campo de fuerzas gravitatorio, , el trabajo necesario para cargar un muelle, , siendo xn su longitud natural (no deflectado), y el trabajo necesario para hacer circular una corriente eléctrica I a través de una resistencia R mediante una diferencia de potencial V, W=V(t)I(t)dt=V2/Rdt=I2Rdt; conviene recordar que la diferencia de potencial es el trabajo necesario para llevar la unidad de carga de un punto a otro.
Ejercicio 2.4. Cuando se conecta a la red una resistencia eléctrica de 1 kW sumergida en un litro de agua, ¿qué tipo de energía recibe el sistema: calor o trabajo?
Solución. Obsérvese el esquema. Si elegimos como sistema el agua, recibirá 1 kW de calor, por transmisión de calor desde la resistencia calienta al agua fría. Pero si elegimos como sistema todo el contenido del recipiente, i.e. agua más resistencia eléctrica, recibirá 1 kW de trabajo eléctrico (VI=I2R=V2/R), que se disipa en la resistencia por efecto Joule.

Fig. E2.4. Esquema de la configuración con resistencia eléctrica.


Conviene comparar los trabajos involucrados en un sistema cilindro-émbolo que encierra un gas, con los correspondientes a un sistema elástico (e.g. un cilindro de goma que sustituyera al gas encerrado). Suponiendo que inicialmente ambos sistemas están en equilibrio (el aire en un cilindro horizontal a presión ambiente, y la goma no deflectada), al comprimir lentamente con el émbolo, ambos sistemas recibirían un trabajo F·dx, que se almacenaría en la goma pero se disiparía al entorno en forma de calor en el caso del aire comprimido; al expandirlo, la primera diferencia es que habría que pegar el émbolo a la goma para que tirase de ella, pero es que además, el trabajo realizado por el agente externo al tirar, se almacenaría en la goma, como al comprimir (han variado los dos signos, el de la fuerza y el de su desplazamiento), pero el gas no recibe trabajo sino que lo da, y la suma del trabajo que da el gas más el realizado por el agente externo tirando del émbolo, van a parar al ambiente.
En resumen, si el trabajo que recibe un sistema puede aumentar su energía mecánica (cinética, potencial, elástica), y separamos la energía mecánica degradada por fricción, Emdf, de las energías cinética del centro de masas, vemos que el trabajo que recibe un sistema (dejando aparte el trabajo eléctrico) puede desglosarse en:


Trabajos mecánicos:




\* MERGEFORMAT (2.)

que en realidad es la definición de Emdf. A veces, sobre todo en los sistemas de flujo estacionario que se ven más abajo, se usa w (uve doble minúscula; no confundir con la letra griega omega) para designar el trabajo por unidad de masa del sistema (para masa de control) o por unidad de masa procesada (para volumen de control), usándose en ambos casos como unidad el J/kg y no el W/(kg/s) aunque es lo mismo. A propósito de unidades, apenas hay irregularidades en el uso de unidades para el trabajo de cualquier tipo (con la excepción de que en electricidad se usa a veces el kWh (1 kWh≡3,6 MJ, en ingeniería nuclear se usa el electronvoltio (1 eV=1.6·1019 J), y para la potencia mecánica de motores térmicos hay quien todavía usa el 'caballo' en diferentes acepciones regionales (1 CV ≈ 1 HP ≈ 740 W). Al trabajo por unidad de tiempo se le llama potencia mecánica o eléctrica (o simplemente potencia, si no cabe confusión), y se representa por (o a veces por P, pues no es fácil distinguir entre la de la potencia y la W de vatio, como entre la V de voltaje y la V de voltio; incluso pudiera confundirse la W de trabajo con la W de vatio, o la m de masa con la m de metro...).


Trabajo útil


En la práctica, resulta muy conveniente separar en dos partes el trabajo que recibe o realiza un sistema en presencia de un ambiente infinito: la parte que es debida a la presión ambiente (atmosférica, oceánica), y el resto, debido a que la primera parte es un proceso natural que se considera como recurso gratuito, mientras que el resto se realiza artificialmente (recuérdese que, salve indicación expresa, se supone que todo sistema termodinámico está inmerso en un ambiente 'terrestre', que supondremos de presión y temperatura fijas, p0 y T0, con valores por defecto p0=100 kPa y T0=288 K). Llamando trabajo útil (que habrá que aportar o podrá obtenerse) a la parte no-atmosférica, se tendrá:


Trabajo útil



\* MERGEFORMAT (2.)

siempre y cuando se desprecien las pequeñas variaciones de la presión exterior en la frontera del sistema debidas al movimiento del aire atmosférico (i.e. que la presión dinámica sea despreciable frente a la media atmosférica).


Ejercicio 2.5. Dentro de un cilindro horizontal de 10 cm de diámetro hay un émbolo que encierra 1 L de aire al doble de la presión ambiente. Calcular el trabajo útil obtenible en la expansión hasta la presión ambiente.
Solución. Empezamos haciendo un esquema representativo del sistema, los estados y la evolución. Se trata casi de la evolución opuesta a la del ejercicio 2.1. Si se ha hecho ya el E2.1, estaría uno tentado a concluir rápidamente que el trabajo útil va a ser los 31 J de allí (allí había que aportarlos, y aquí se extraerían).

Fig. E2.3. Esquema de la configuración.


Si suponemos que la expansión es lenta y sin fricción, y aplicamos , obtenemos:

y sustituyendo valores, Wu=p1V1ln(V2/V1)+p0(V2V1)=2·105·10-3ln2+105·(2·10-310-3)=  J. Comparando con el ejercicio 2.1 vemos que aquí el gas encerrado realiza un trabajo de 138 J: 100 contra la atmósfera y 38 J utilizables para algún servicio (e.g. empujar), mientras que allí el gas recibía 69 J: 31 J proporcionados por el empujador, y 38 por la atmósfera. La diferencia se debe a que aquí el litro está a 200 kPa y allí a 100 kPa. Tal vez hubiera sido conveniente en ambos casos usar el subíndice 1 para el estado inicial (esté o no en equilibrio con el ambiente), y usar el subíndice 2 para el estado final (o subíndices literales en vez de numéricos).

Diagrama p-V


Para los procesos termodinámicos en los que el trabajo es W=pdV, suele ser de gran ayuda la representación de los procesos en un diagrama cartesiano en el que en abscisas se pone el volumen y en ordenadas la presión. Con el modelo de gas perfecto, los procesos básicos de interés son el proceso isotermo, pV=cte., que corresponderá a un trozo de rama de hipérbola equilátera (Fig. 2.1), los procesos a volumen constante y a presión constante (que serán paralelos a los ejes), y el proceso isoentrópico (que se estudiará después), pV=cte. (con =1,40 para el aire y otros gases diatómicos, =1,67 para los gases monoatómicos, =1,33 para gases triatómicos, etc.), y que corresponderá a un trozo de rama hiperbólica no equilátera, más empinada que la isoterma que pasa por el mismo punto (Fig. 2.1).

Fig. 2.1. a) Diagrama p-V, con algunas evoluciones de un gas perfecto. b) Ciclo ideal de un motor Diesel.


Los procesos de mayor interés con gases perfectos pueden representarse en general por la llamada ecuación de los procesos politrópicos de un gas perfecto, pvn=cte., que comprende todas las curvas dibujadas en La Fig. 2.1a): n=0 serían las isobaras (p=cte.), n=1 las isotermas, n= las adiabáticas reversibles (isoentrópicas), y n= correspondería a las isocoras (V=cte.).
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