Un arco de cognoscibilidad El problema de las raíces cúbicas



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Un arco de cognoscibilidad

El problema de las raíces cúbicas


Por Merv Fansler



Al igual que el grupo que primero constituyó este proyecto, adoptamos nuestra primer tarea, la de trabajar sobre la Armonía del Mundo de Kepler y el informe del grupo previo sobre este tema, no podíamos ayudar sin leerlos con anticipación antes de llegar al trabajo de Gauss, el cual era nuestro ámbito nominal de investigación. Con esta idea en mente muchos de nosotros quedamos pasmados cuando encontramos en el trabajo de Kepler muchas de las ideas seminales –aunque menos desarrolladas- que Gauss desarrollaría más en su propio trabajo. En breve, vimos, no sólo como algo hipotético, que el trabajo de Gauss fuera una extensión del de Kepler, sino que era un hecho evidente innegable.

La intención de los que constituimos este grupo es elaborar esa relación. Este informe es un primer paso –en una de muchas posibles direcciones- de comenzar a trazar dicha relación.

En las siguientes páginas encontrarás una presentación que intenta conjuntar los antecedentes históricos a la entrada de Gauss en el campo de batalla de las ideas. El hilo particular elegido para desenhebrar esta madeja de historia en la que Gauss es un elemento crucial, fue el Problema Deliano, como se manifiesta de diversas maneras en la historia moderna a través de Cusa, Cardan, Kepler, Leibniz, Euler, Käestner, y eventualmente llegar a Gauss.

El informe que tienes ante ti es el primero de una serie.


Introducción

Ateniense: Por lo pronto veamos cuál es, entre todas las ciencias, aquella, que si no la hubiera conocido el hombre, o llegara a perderla, se vería reducido a ser el mas simple e insensato de los animales. No es difícil de encontrar esta ciencia

- Epinomis1


Era la Edad de Oro de Atenas. Pericles era amado por la población –tenía un poder mas allá de todo para convencer al demos con sus cautivantes oraciones. Atenas, bajo su dirección, confiaba en su persecución de una guerra en el Peloponeso. Se realizaban los preparativos: Atenas, el poder naval más fuerte en el Mediterráneo, había decidido reforzarse contra su mayor vulnerabilidad –un ataque terrestre por parte de los espartanos. Pericles había propuesto encerrar toda la ciudad de Atenas con una muralla cuyo único punto de acceso con el mundo exterior sería a través de un estrechamiento de la “Muralla Larga” hacia el Pireo, un puerto marino a kilómetros de distancia, la población lo consideró como la base de un éxito innegable. Era un plan que hacía a Atenas invencible; todo construido sobre el gran edificio de la Retórica.

Sócrates: establecido esto, veamos, te lo suplico, lo que debemos pensar de la retórica. Yo no puedo formar aún una idea cabal de lo que acabas de decir. Cuando un pueblo se reúne para elegir médicos, constructores de buques o cualquiera otra especie de operarios ¿no es cierto que el orador, en este caso, ningún consejo tiene que dar, puesto que evidentemente en todas estas lecciones hay que acudir a los más hábiles? ni cuando se trata de la construcción de muros, de puertos o de arsenales, porque se consultará a los arquitectos… Gorgias ¿qué nos sucedería si tomáramos tus lecciones?...

Gorgias: Voy, en efecto, Sócrates, a intentar desenvolver por entero toda la virtud de la retórica, ya que tú me has puesto en camino. Sabes, sin duda, que los arsenales de los atenienses, lo mismo que sus murallas y sus puertos, han sido construidos siguiendo en parte los consejos de Temístocles, en parte los de Perícles, y no los de los operarios.

Sócrates: Sé, Gorgias, que así se dice de Temístocles. Respecto a Pericles, yo mismo lo he oído cuando aconsejó a los atenienses levantar las murallas que separan a Atenas del Pireo.

Gorgias: Ya ves, Sócrates, que cuando se trata de tomar una resolución sobre las cosas que antes decías, los retóricos son los que aconsejan y su dictamen es el que triunfa.

Sócrates: Pues eso es precisamente lo que me sorprende, Gorgias, y lo que motiva mi terquedad en preguntarte sobre la virtud de la retórica. Me parece que es maravillosamente grande, si se le examina bajo este punto de vista.

Gorgias: ¡y no lo sabes todo, porque si lo supieras, verías que la retórica abraza, por decirlo así, la virtud de todas las demás artes!

Platón, Gorgias2


Con el consentimiento de la población se comenzó la construcción. Los habitantes rurales fueron traídos de las tierras de labranza, que se extendían más allá de los límites de la ciudad. Todos cómodamente fijaron su nuevo lugar dentro, tras la barrera protectora, todos estaban a salvo de los potenciales invasores a quienes Atenas planeaba provocar. La Guerra del Peloponeso había comenzado.

Con toda esa preparación defensiva, nadie podría haber imaginado la carnicería que resultaría dentro de las murallas de la ciudad. Aunque no fue el ataque violento de un ejército invasor lo que asestó su golpe fatal sobre la ciudad –esa hubiera sido la menor de las preocupaciones de Atenas. Nadie nunca sospechó que la barrera había sido penetrada cuando ese espantoso acechador hizo su sigilosa entrada, pero una vez que se desató sobre la población, todos supieron el brutal nombre del asesino: la Plaga.

Una vez que se desató, no se pudo detener. La población estaba tan densamente hacinada de tal manera que había poca esperanza. Uno no puede imaginar el terror que debe haber asaltado a los habitantes de Atenas. Se dice que la población estaba más allá de la desesperación: se rompió toda apariencia de orden en la sociedad. Las personas abandonaban a sus familias, escapando a borracheras desenfrenadas y dispendiosas. Si se sobrevivía o no al día siguiente se dejaba al Destino, todos vivían como si no hubiera futuro.

La ilusión del poder imperial ateniense llegaba a su fin y frente a tales catástrofes es que se comprendió el verdadero poder de la retórica.

Existe una anécdota que resume el desplome de Atenas que Teón de Esmirna relata así:
“En su trabajo titulado Platonicus, Eratóstenes relata que cuando el dios proclamó a los Delianos, a través del oráculo que, para librarse de una plaga, debían construir un altar del doble del que ya existía, sus artesanos cayeron en gran perplejidad en sus esfuerzos por descubrir como un sólido podía hacerse del doble de tamaño de otro sólido dado; por lo tanto fueron a preguntarle a Platón y él respondió que lo que el oráculo quería decir no era que el dios quería un altar del doble de tamaño, sino que deseaba, al ponerles esta tarea, avergonzar a los griegos por su rechazo a las matemáticas y su desprecio a la geometría”.3

Más de 30,000 atenienses murieron por la plaga, un cuarto de la población.



Sócrates: nunca fuimos conquistados por otros y hasta este día aun no somos conquistados, pero fuimos nuestros propios conquistadores, y recibimos la derrota de nuestras propias manos.
-Platón, Menexeno.
No sería sino 30 años después, a la sombra del colapso de Atenas y el asesinato judicial de Sócrates, que el colaborador de Platón, Arquitas, finalmente encontró una solución a lo que hoy se conoce como el Problema Deliano.

Desafortunadamente, con las muertes de Arquímedes y Eratóstenes en el 212 y 194 a.C. respectivamente, las implicaciones de la solución de Arquitas, que eran conocimiento común entre los pitagóricos y los círculos de Platón, se perderían durante siglos.


Ateniense: Porque si nosotros, por así decirlo, tomamos una ciencia por otra, esa que nos ha dado nuestro tipo de conocimiento del número nos afectaría de esa manera, y creo que puedo decir que no es tanto nuestra suerte sino un dios quien nos la preserva por ser un regalo suyo.
- Epinomis
El tema de este informe es un intento de hacer visible a los ojos del lego sólo una faceta de aquellas divinas maquinaciones, que, con mucho, nos han preservado.
La Caverna
Sócrates: Imagina una caverna que tiene todo a lo largo una abertura que deja libre a la luz el paso, y, en esa caverna, unos hombres encadenados desde su infancia, de suerte que no pueden cambiar de lugar ni volver la cabeza por causa de las cadenas que le sujetan las piernas y el cuello, pudiendo solamente ver los objetos que tengan delante. A su espalda, a cierta distancia y a cierta altura, hay un fuego cuyo fulgor les alumbra, y entre ese fuego y los cautivos se haya un camino escarpado. A lo largo de ese camino, imagina un muro semejante a esas vallas que los charlatanes ponen entre ellos y los espectadores, para ocultar a éstos el juego y los trucos secretos de las maravillas que les muestran.

Glaucón: Todo eso me represento.

Sócrates: Figúrate unos hombres que pasan a lo largo de ese muro, portando objetos de todas clases, figuras de hombres y de animales de madera o de piedra, de suerte que todo ello se aparezca por encima del muro –los que los portan, unos hablan entre sí, otros pasan en silencio.

Glaucón: ¡Extraño cuadro y extraños prisioneros!

Sócrates: ¿Crees que verán otra cosa, de sí mismos y de los que se hayan a su lado, más que las sombras que van a producirse frente a ellos al fondo de la caverna?

Glaucón: ¿Qué mas pueden ver, puesto que desde su nacimiento se hayan forzados a tener siempre inmóvil la cabeza?

Sócrates: ¿Verán, así mismo, otra cosa que las sombras de los objetos que pasen por detrás de ellos?

Glaucón: No

Sócrates: ¿Si pudieran conversar entre sí, no convendrían en dar a las sombras que ven los nombres de esas mismas cosas?

Glaucón: Indudablemente.

Sócrates: Y si al fondo de su prisión hubiese un eco que repitiese las palabras de los que pasan, ¿no se figurarían que oían hablar a las sombras mismas que pasan por delante de sus ojos?

Glaucón: Si.

Sócrates: Finalmente, ¿no creerían que existiesen nada real fuera de las sombras?

Glaucón: Sin duda.

-Platón, La República, libro VII4


Después del colapso de la civilización griega, la ciencia en Europa no sólo se estancó sino que retrocedió. El conocimiento de los Pitagóricos se perdió en casi todos los aspectos. Los descubrimientos acumulados de la Escuela Pitagórica, que tanto apreciaba recrear el descubrimiento, fueron codificados por Euclides en sus Elementos, castrando de esa manera a la mente del descubrimiento.5

El deterioro de la Astronomía fue, quizá, la pérdida más severa, ya que fue, por supuesto, la primer ciencia, el origen del concepto de de Número por el Hombre.


Ateniense: ¿Cómo hemos aprendido a contar? Dime, ¿de dónde nos viene el conocimiento de la unidad y del número dos a nosotros que somos los únicos seres del universo dotados naturalmente de la capacidad de reflexionar?, porque la Naturaleza no ha dado a los animales las facultades necesarias para aprender a contar. Pero Dios, en primer lugar, ha puesto en nosotros la inteligencia requerida para concebir lo que se nos muestra; en seguida nos a mostrado y nos muestra todavía diversos objetos, entre los cuales ninguno más bello que el espectáculo del día. Del aspecto del día el hombre pasa al de la noche, que le presenta un cuadro completamente diferente, y teniendo constantemente en cuenta la revolución sucesiva de días y noches, el cielo no cesa de enseñar a los hombres lo que es uno y lo que son dos, hasta que el más estúpido haya aprendido suficientemente a contar; porque esta misma serie de días y noches enseña a cada uno de nosotros lo que son tres, cuatro y muchos.

- Epinomis


Este conocimiento astrofísico, que se extendió desde la tradición egipcia, continuado por Tales y hasta Eratóstenes y Aristarco, fue reemplazado con la filosofía aristotélica de Ptolomeo, quien propagó la creencia de que el Hombre de ninguna manera posee conceptos conmensurables con los modos de acción en la esfera celeste.
Ya que no está bien que nuestras cosas humanas sean comparadas sobre una base de igualdad con los dioses inmortales y que busquemos la evidencia de cosas tan elevadas de ejemplos de cosas tan opuestas.

Ptolomeo, Almagesto,

Libro XIII, capítulo 2.
Con tales accidentes, la civilización europea se enconaría en lo que hoy se conoce como la Edad Oscura, la cual duraría siglos.
La Liberación

Sócrates: Mira ahora lo que naturalmente habrá de sucederles, si son liberados de sus hierros y se les cura de sus errores. Desátese a uno de esos cautivos y oblíguesele inmediatamente a levantarse, a volver la cabeza, a caminar y mirar hacia la luz; nada de eso hará sin infinito trabajo; la luz le abrasará los ojos, y el deslumbramiento que le produzca le impedirá distinguir los objetos cuyas sombras veía antes. ¿Qué crees que respondería si le dijesen que hasta entonces no ha visto más que fantasmas, que ahora tiene ante sus ojos objetos más reales y más próximos a la verdad? Si se le muestran luego las cosas a medida que vayan presentándose, y se le obliga, a fuerza de preguntas, a decir qué es cada una de ellas, ¿no se le sumirá en perplejidad, y no se persuadirá de que lo que antes veía era mas real que lo que ahora se le muestra?

Platón, La República, Libro VII


La humanidad no estaría atada por siempre y pronto hubo un resurgimiento de las enseñanzas de los Pitagóricos y Platón. En el centro de este redescubrimiento del conocimiento pitagórico estaba la figura líder del Renacimiento, el Cardenal Nicolás de Cusa.6

El principal trabajo de Cusa, De Docta Ignorantia, definiría las bases epistemológicas para todos los avances subsecuentes de lo que devino la ciencia moderna. Fue el primer gran paso en liberar la mente de siglos de pedante filosofía aristotélica.

Sin embargo, llegar a la exactitud de las combinaciones de las cosas corporales, y a una adaptación adecuada de lo conocido a lo desconocido, es algo superior a la razón humana.

… Pero todos los que investigan mediante la comparación con algo presupuesto como cierto, juzgan, proporcionalmente, lo incierto.…

Es, pues, comparativa toda indagación que se realiza por medio de una comparación, de tal modo que cuando las cosas que se inquieren pueden compararse a lo presupuesto mediante una reducción proporcional próxima, la aprehensión del juicio resulta fácil, mientras que si tenemos necesidad de muchos medios, la dificultad y el trabajo aparecen.

Estas cosas son evidentes en las matemáticas, en donde las proposiciones primeras se reducen con facilidad a los primeros y más evidentes principios, pero las proposiciones posteriores sólo mediante las primeras y con mayor dificultad. Toda indagación, pues, se da en una proporción comparativa fácil o difícil según algo infinito, en cuanto que lo infinito (por escapar a toda proporción) es desconocido. Sin embargo, la proporción, como indica conveniencia con algo único, y a la vez alteridad, no puede entenderse sin el número. El número incluye, por tanto, todas las cosas proporcionales. Así, pues, no constituye el número la proporción en la cantidad sólo, sino en todas aquellas cosas que de cualquier manera, tanto sustancial como accidentalmente, pueden convenir y diferir.

Tal vez por esto Pitágoras pensaba que todas las cosas se constituían y eran inteligibles debido al poder de los números.

Cusa, De Docta Ignorantia,



  • Libro I, capítulo I 7

Al revivir el platonismo, Cusa enfrentó una tarea descomunal – ya que Zmucho se había perdido, había mucho terreno que recuperar



Sócrates: Y si se le obligase a mirar el fuego, ¿no enfermaría de los ojos? ¿No desviaría sus miradas para dirigirlas a la sombra, que afronta sin esfuerzo? ¿No estimaría que esa sombra posee algo más claro y distinto que todo lo que se le hace ver?

-Platón, La República, Libro VII.


La reacción contra Cusa fue viciosamente franca, como tipifica el caso de John Wenck.8 Sin embargo, a Cusa nunca le faltó alguna respuesta mordaz.
Esta secta considera como herejía la coincidencia de los opuestos. Por lo tanto, este método, que a los que fueron criados en la secta les es completamente insípido, es rechazado tajantemente, como si fuera exactamente contrario a sus intenciones. Entonces podríamos decir que es un milagro en ellos –como lo sería la transformación de la secta- rechazar a Aristóteles y llegar más alto

-Nicolás de Cusa,



Apologia Doctae Ignorantiae9

Sócrates: Si ahora se le arranca de la caverna, y se le arrastra, por el sendero áspero y escarpado, hasta la claridad del sol, ¡qué suplicio no será para él ser así arrastrado!¡qué furor el suyo! Y cuando haya llegado a la luz libre, ofuscados con su fulgor los ojos, ¿podría ver nada de la multitud de objetos que llamamos seres reales?

-Platón, La República, Libro VII


A través de Cusa, el camino de regreso a los griegos estaba abierto, y aunque las maneras habituales de la Escuela Aristotélica aun persistirían y tomarían nuevas formas, ya estaba trazado un camino por el que la Humanidad recuperaría su primera ciencia.
El Problema Deliano revivido

Sócrates: Necesitaría tiempo, sin duda, para acostumbrase a ello. Lo que mejor distinguiría sería, primero, las sombras, luego las imágenes de los hombres y de los demás objetos, reflejadas en la superficie de las aguas; finalmente, los objetos mismos.

-Platón, La República, Libro VII.

Nada más que decir, el resurgimiento de la ciencia no fue un éxito instantáneo –tomó algún tiempo para reajustarse. Entre las varias búsquedas emprendidas por los pensadores en el Renacimiento una de ellas fue el restablecimiento del problema deliano, pero desde una posición más ventajosa.

La ciencia no había sido del todo abandonada desde la época de los Griegos. De hecho, aunque la mayor parte de Europa había estado en una edad oscura, se habían hecho avances tecnológicos significativos particularmente en el llamado Renacimiento Islámico que eventualmente devino un conducto alimentador del resucitamiento de Europa.

Uno de los inventos que vio su nacimiento en el Renacimiento Islámico y que fue adoptado por pensadores en el Renacimiento Italiano, fue el de Al-Jabr o Álgebra. Este nuevo arte se abrió camino a través de los escritos de Al-Khowarizmi.
“En el nombre de Dios, poderoso y compasivo, empieza el libro de la Restauración y la Oposición del número, puesto por Mohammed “En el nombre de Dios, poderoso y compasivo, empieza el libro de la Restauración y la Oposición del número, puesto por Mohammed Al-Khowarismi, hijo de Moisés. Mahoma dijo, Alaba a Dios el creador que ha dotado al hombre del poder de descubrir el significado de

os números. Reflexionando todas las cosas que el hombre requiere contar, descubrí todo lo que involucra números y descubrí que el número no es otra cosa, que aquello que está compuesto de unidades”.

-Al-Khowarizmi, Libro del

Álgebra y Almucabola

Ver recuadro I.


RECUADRO 1
El trabajo de Al-Khowarizmi representó una investigación inicial dentro de los problemas que surgen referentes a las relaciones entre áreas. Bajo esto hay algunos de los problemas típicos con los que se enfrenta su trabajo. Es de notarse que el sólo tomó en consideración problemas que tenían una representación física mientras rechazaba los que tal vez podrían ser formulados simbólicamente pero carentes de significado (por ejemplo, la ecuación x2 + 10= 0 se consideraría absurda ya que, ¿cómo podrían dos cosas, cuando se suman, volverse nada?)
Una raíz igual a 2 Un cuadrado igual a 4



Cinco cuadrados


Cinco cuadrados igual a 10 raíces

¿Cuál es el cuadrado que si le sumas 21 unidades la suma total es igual a 10 raíces del cuadrado?


Un cuadrado mas 21 unidades igual a 10 raíces



De la mitad de esas raíces, o 5 toma dos y quedan 3 constituyendo una raíz de ese cuadrado




Que es de 9



Un cuadrado y 10 raíces igual a 39 unidades










El método de Al-Khowarizmi fue adoptado por personas como Fibonacci, Nicolás Fontana Tartaglia y Girolamo Cardan. Así como Al-Khowarizmi buscaba aplicar su método para lograr un tratamiento generalizado de relaciones entre superficies y distancias, Cardan y otros buscarían extender esto para comprender las relaciones entre volúmenes, superficies y distancias.

Como lo refiere Käestner, Scipio Ferreus y Tartaglia habían descubierto un método para resolver el problema de un cubo igual a la suma de algunas raíces y un número (x3 = ax + b). Tartaglia le proporcionó a Cardan su solución, pero no le permitió ver la prueba. Cardan, siendo totalmente capaz, derivó por sí mismo la prueba y la publicó, acreditando legítimamente a Tartaglia con el descubrimiento.

Sin embargo, en su solución había más de lo que parece a primera vista. (Ver recuadro II)
La paradoja que surge de esta solución ocuparía las mentes de los futuros geómetras en los siguientes siglos.
Un poderoso sentido

de admiración. . .
Sócrates: De ahí dirigiría su mirada al cielo, cuya vista sostendría con mayor facilidad durante la noche, al claror de la luna y de las estrellas, que por el día y a la luz del sol.

Platón, La República, Libro VII


Ateniense: …y ¿cuál es este dios de quien hablo con tanto elogio? Es el cielo; y a él es a quien de toda justicia debemos tributar particularmente nuestros homenajes y dirigir nuestras súplicas, como lo hacen todos los demás dioses y genios. Según confesión de todo el mundo, somos deudores a su liberalidad de todos los demás bienes, y según nuestra opinión él es el que ha descubierto a los hombres la ciencia de los números, y la descubrirá aun a todo el que quiera escuchar sus lecciones. Llámesele mundo, olimpo o cielo, importa poco el nombre con tal de que se observe cómo imprime el movimiento a los astros que él contiene, cómo hace nacer las revoluciones, las estaciones, la vida, los diversos conocimientos unidos a los números, y todos los demás bienes, el más grande de los cuales es sin contradicción esta ciencia de los números, cuando se sabe servirse de ella para explicar todo el orden celeste

Platón, Epinomis


Johannes Kepler, completamente empapado en las enseñanzas de Cusa, abriría el camino para restaurar la astronomía, y el método científico en general, regresándolo a su herencia pitagórica. Su “correcta contemplación” de los cielos lo llevó a redescubrir esa original ciencia del número. Sus tres principales trabajos, Misterio Cosmográfico, Nueva Astronomía y Armonía del Mundo, profundamente platónicos en su origen, refinaron la noción moderna de epistemología.

En su Armonía del Mundo10, antes de poder compartir sus descubrimientos con el lector, primero tiene que responder a la pregunta: “¿Qué significa conocer algo?”11.



Definición VII

En los asuntos geométricos, conocer es medir por medio de una medida conocida12, esta medida conocida, en nuestro asunto presente, la inscripción de figuras en un círculo, es el diámetro del círculo.

- Armonía del Mundo, Libro I

Sabiendo esto, él podría entonces proceder a responder otra pregunta elemental: si esto es lo que significa conocer, ¿Qué puede entonces ser conocido?


Definición VIII

Se dice que una cantidad, si es una línea, es cognoscible si es directamente mensurable por el diámetro; o por su cuadrado, si es una superficie: o si la cantidad en cuestión está por lo menos formada de cantidades tales que --por alguna conexión geométrica definida en algunas series [de mediante operaciones] aun largas--,finalmente dependen del diámetro o de su cuadrado.

El griego de esto es γνωριμον, “inteligible”.

-Armonía del Mundo, Libro I.


A partir de entonces, procedió a desdoblar un ordenamiento de “grados de cognoscibilidad” mediante el cual las magnitudes pueden ser comparadas como una cualidad definida de magnitud en oposición a meramente una cantidad de magnitud.
Por ejemplo, compara el lado de un cuadrado de 2 y el lado de un cuadrado de 4. Aunque en valor cuantitativo el lado de un cuadrado de 2 es más semejante a la unidad, en términos del valor cualitativo, el lado de un cuadrado de 4 es más semejante a la unidad, porque con respecto a la habilidad de la mente para comprenderlo, se resuelve más fácilmente.

Por más esotérico que este comienzo pueda parecer, logra algo muy profundo: el establecimiento de un concepto de especies de magnitud.

Sobre la base de este concepto, ahonda en la tarea del ordenamiento de varias construcciones de divisiones del círculo y el teselado del plano y la esfera respecto a sus grados de cognoscibilidad. De allí iría más allá a demostrar que la razón por la que los intervalos musicales se manifiestan ya sea como consonantes o disonantes depende completamente de los grados de cognoscibilidad a los que ellos corresponden. De hecho, existe una conexión íntima entre armonía y conocimiento.


RECUADRO II



En su Ars Magnae, Cardan vuelve a plantear todos los problemas que los Árabes habían abordado en su tratamiento del Álgebra y fue más allá al extender el método al problema de las relaciones volumétricas. Uno de los problemas más importantes que Cardan “resolvió” fue la ecuación cúbica de la forma: x3 = ax+b

Toma, por ejemplo, x3 = 13x+12. Ahora, antes de tratar por el método de Cardan, uno debería, como siempre, tratar de encontrar por uno mismo soluciones a esta ecuación y comparar los resultados con los de Cardan.

La solución que Cardan propone consiste en lo siguiente:

Supongamos que la solución tendrá la forma de que x puede representada como la suma de las aristas de otros dos cubos. Esto es



Luego, siguiendo la animación de abajo, uno encuentra











Combinando esto con la ecuación original, satisface dos nuevas relaciones:


Hasta aquí, todo parece tener un significado físico. Todo lo que resta es explicar A y B desde las dos ecuaciones.

Como se muestra en la siguiente animación, si uno establece 13 como la arista de un nuevo cubo, el volumen 2197= 27*A*B. Así A*B=2197/27. Pero, de (II) encontramos que B= 12-A. Así, A(12 - A) = 2197/27, que produce la ecuación:

Resolviendo esta ecuación (lo cual se puede hacer usando el método de Al-Khowarizmi, ¿cierto?) uno encuentra:


y, de II:




Así, el problema ha sido resuelto:

Pero, ¿que significa?

Si uno mira más atentamente, hay algo que no encaja bien.

Pero eso significa:



Esto es, ¡esta expresión contiene ¡raíces cuadradas de números negativos!

Así, la solución final de Cardan nos da:

¿Cómo se compara esto a las soluciones que el lector encontró? ¿Es esta una nueva solución o tal vez es equivalente a una que el lector encontró? ¿Por qué la derivación aparentemente física de Cardan da algo sin un significado físico?

______________________________________________________________________________________



Subyaciendo a la concepción de Kepler existe una importante cuestión epistemológica que representó un enfoque renovado sobre como investigar causas físicas. Lo que Kepler definió no axiomatiza a la ciencia física sino que establece explícitamente el entendimiento pitagórico de que toda causalidad esta relegada a presentarse a la mente en una forma cognoscible. Además, la forma en que la Mente se representa el conocimiento a sí misma es en la forma de armónicos. Así, en todas las búsquedas de Kepler de principios en el universo, él supo que la forma en que esos principios deben manifestarse a si mismos es siempre como una expresión armónica.

De ahí que, el tratado de Kepler sobre la naturaleza del conocimiento se titula: Armonía del Mundo.

Sin embargo, la restauración de la astronomía por Kepler mediante esa rigurosa fundamentación en la epistemología no sucedió mientras descansaba a la orilla de un tranquilo lago. ¡No! El, un navegante solitario, guió ese barco a través de una tormenta torrencial: la gestación y comienzo de la Guerra de los Treinta Años.

. . . en el lado austriaco, se percibe una astronomía timorata y no bélica impedida por las condiciones, peligros, terrores, desastres y problemas, de buscar ayuda. Cruzó en el año 1600 de Estiria a Bohemia, así que justo como había echado sus primeras raíces bajo la protección de la casa de Austria también podía crecer y madurar bajo su protección. . . Después de ser arrojada de aquí para allá por las tempestades de las guerras intestinas y extranjeras, después de la muerte del Emperador Rodolfo en el año 1612, con continuo ahínco por la casa de Austria, retornó a Austria. Ella podría haber sido honrada con atención devota de mentes eminentes (no menos que por mí mismo, quien la restauró) tanto como ella fue aceptada y favorecida con buena voluntad. Aunque, ¡qué pena!, que grandes bienes hacen que mortales miserables se despojen unos a otros, por sus vergonzosos deseos vehementes pendencieros. Como una profunda ignorancia de su sino los trastorna. Con qué deplorable perversidad nos vemos arrojados en medio de las llamas al huir del fuego.

Aun todavía ahora verdaderamente puede haber, después del retorno de los asuntos austriacos que siguió, un lugar para el decir oracular de Platón. Porque cuando Grecia estaba incendiada por todos lados con una larga guerra civil, y se encontraba afligida por todos los males que usualmente acompañan a la guerra civil, él fue consultado sobre el Enigma Deliano, y estaba buscando ocasión para sugerir consejos saludables a los pueblos. Con amplitud replicó que, de acuerdo a la opinión de Apolo, Grecia sería pacífica si los griegos regresaban a la geometría y otros estudios filosóficos, ya que éstos estudios apartarían a sus espíritus de la ambición y otras formas de codicia de las que surgen las guerras y otros males, hacia el amor a la paz y la moderación en todas las cosas.

-Kepler, Misterio Cosmográfico13


Con lo familiarizado que estaba Kepler con el Problema Deliano, especialmente en sus aspectos culturales, sus comentarios sobre las técnicas de los enfoques de sus predecesores al problema se volvieron especialmente útiles. Sus pensamientos están más explícitamente expuestos en sus críticas a los varios métodos propuestos para resolver el problema homeomórfico de trisectar el ángulo,14 que surge en el intento de construir un heptágono regular.15

Aquí podría sugerirse que debo usar el arte Analítico llamado Álgebra por Arab Geber, siendo su nombre italiano Cossa: ya que en este arte los lados de todo tipo de Polígonos parecen ser determinables…

-Armonía del Mundo, Libro I
Kepler tomó esta sugerencia, siguiendo el procedimiento que le dio su colaborador, Bürgi, que produjo la siguiente ecuación algebraica, cuyas raíces corresponden a los tres diferentes lados que constituyen los triángulos elementales del heptágono regular:16

7- 14x2 + 7x4 – x6 = 0

-notarás, primero, que uno puede preguntarse ¿qué significa esta cuerda algebraica de Bürgi? Ciertamente significa que si siete líneas son construidas en proporción continua, siendo esa proporción la que existe entre el lado del heptágono y el semidiámetro del círculo, y la primera proporcional es igual al lado del heptágono: entonces siete líneas iguales a la primera proporcional mas siete igual a la quinta se añadirán a la misma como catorce líneas igual a la tercera proporcional mas una línea igual a la séptima.

- esto no nos dice como construir la proporción continua para lo cual se mantendrá esta relación, ni expresa las longitudes de las proporcionales en términos de cosas ya conocidas, pero nos dice, una vez que [el sistema de] proporción [continuo] es establecido, que relación es la que seguirá. Así estoy en capacidad de representar la relación (afección), porque entonces resultará que también obtuve la proporción. ¿Pero cómo representar la relación? ¿Mediante qué procedimiento geométrico? No tengo otros medios de hacerlo salvo usando la proporción buscada; existe un argumento circular: y el infeliz Calculador, despojado de toda defensa geométrica, manteniéndose en la espinosa maleza de los Números, recurre en vano a su álgebra (cossa). Esta es una distinción entre determinaciones Algebraicas (Cossicas) y Geométricas.

-Armonía del Mundo, Libro I


Así, la pregunta permanece: “¿Cuál es la diferencia en la naturaleza de una determinación Algebraica de magnitud en comparación a una Geométrica?”

…todo este razonamiento de Bürgi depende de la naturaleza (esencial) de una cantidad discreta, a saber, la de los números.

Pero la geometría no maneja las figuras de esta manera, aunque designa lados expresables en longitud mediante números; pero de ninguna forma los inexpresables los intenta capturar con Números, sino que establece sus magnitudes de acuerdo a sus especies particulares, así que es claro que no estamos tratando con cantidades discretas sino con continuas, es decir con líneas y superficies.17

No se me dijo como llegar a la conclusión del asunto sino solo como acechar a lo lejos a la presa. Dado que el tipo de línea, de acuerdo a su [grado de] conocimiento, se encuentra entre los inexpresables (es decir, que no son numerables sino que rechazan los números), de acuerdo a esto no habrá multiplicidad de números que puedan agotar la proporción sin dejar un poco de incertidumbre: Por otra parte esta proporción [algebraica –MF]... no encuentra refugio excepto en los números, ... pero esto nunca da un valor completamente exacto; y en breve: esto no es conocer la misma cosa, sino solo algo cercano a ella, ya sea mayor o menor que ella; y después el Calculador (computador) siempre puede acercarse más, pero nunca llegará exactamente a ella. De hecho tales son las cantidades que solo se encuentran en las propiedades de una cuestión de una cantidad definida; y no tienen una construcción cognoscible por la cual en la práctica pudieran ser accesibles al conocimiento humano.

-Armonía del Mundo, Libro I
Kepler estaba así justificado al desterrar al heptágono de la arquitectónica del Cosmos a causa de su falta de cognoscibilidad. Sin embargo, esto generó una paradoja mucho más profunda, que proviene de su trabajo anterior, la Nueva Astronomía. De aquí, él confronto el obstáculo de que la manifestación del principio que gobierna el movimiento de un planeta en su órbita, no es expresable mediante ninguno de los métodos geométricos existentes en su tiempo. Si no era posible someterlo a una construcción geométrica, ¿no seguiría la conclusión de que en sí mismo era incognoscible?
Pero dada la anomalía media, no existe método geométrico de proceder a la igualdad, esto es, a la anomalía excéntrica.

Es suficiente para mí creer que no podría resolver esto a priori, debido a la heterogeneidad del arco y el seno. Cualquiera que me muestre mi error y señale el camino será para mí el gran Apolonio.

-Kepler, Nueva Astronomía, Capítulo 60

Tal fue el reto profético de Kepler.


Una desoladora guerra de treinta años, que desde el interior de Bohemia a la desembocadura del Scheldt y de las riveras del Po a las costas del Báltico, devastó países enteros, destruyó cosechas y redujo pueblos y villas a cenizas, que abrió la tumba para miles de combatientes y para mediados del siglo apagó las tenues chispas de civilización en Alemania y echó atrás las mejoradas formas del país hacia su prístina barbaridad y estado salvaje. Sin embargo de esta horrible guerra, Europa surgió libre e independiente.

-Schiller, Historia de la



Guerra de los Treinta Años.

Aunque Kepler nunca vería el fin de la guerra, una cosa sobreviviría inquebrantable: la fuerza de la paradoja que descubrió persistiría en tanto hubiera una mente para comprenderla.



Sócrates: Mira si no es verdad, que de las cosas sensibles, unas en modo alguno invitan al entendimiento a que dirija hacia ellas su atención porque los sentidos son jueces competentes de ellas, mientras que otras hay que obligan al entendimiento a reflexionar, porque los sentidos no sabrían emitir ningún sano juicio acerca de ellas.

Glaucón: Sin duda que te refieres a los objetos que miramos desde lejos y a los bosquejos.

Sócrates: No has penetrado bien lo que quiero decir.

Glaucón: Pues ¿de qué quieres hablar entonces?

Sócrates: Por objetos que no invitan al alma a la reflexión entiendo a aquellos que no incitan al mismo tiempo dos sensaciones contrarias; y por objetos que invitan al alma a reflexionar entiendo aquellos otros que hacen nacer dos sensaciones opuestas, cuando la relación de los sentidos no dice terminantemente si se trata de tal cosa o de su contraria, ya sea que el objeto hiera de cerca los sentidos o, ya los afecte de lejos ...

Glaucón: Tales testimonios han de parecerle en sobremanera extraños al alma, y requieren de un serio examen por parte de ella.

Sócrates: No sin razón, por tanto, el alma llamando entonces en su auxilio al entendimiento y a la reflexión trata de examinar si alguno de estos testimonios se refieren a una sola cosa o a dos... Si logramos un conocimiento suficiente de la unidad por medio de la vista o de cualquier otro sentido, este conocimiento no podrá dirigirnos hacia la contemplación de la esencia... Pero si la vista nos ofrece siempre una contradicción en la unidad, de modo que ya no nos parece una unidad, sino una reunión de unidades, entonces se necesita un juez que decida, el alma, perpleja, despierta en si al entendimiento y se ve forzada a hacer pesquisas y a preguntarse a sí misma qué es la unidad. En este caso, el conocimiento de la unidad es uno de los que elevan al alma y la vuelven hacia la contemplación del ser.

Platón, La República, Libro VII


Empirismo
El problema de Kepler pudo haber sido transmitido a los futuros geómetras con la misma fuerza con la que fue originalmente concebido, pero eso no significa que el método científico capaz de arribar a esa paradoja permanecería intacto.

Al igual que en el desenvolvimiento de una fuga musical, el tema y el contratema se desarrollarían continuamente a la manera de contrapunto con la introducción de cada nueva voz; una resolución de esa tensión aún estaba lejos de surgir.

El método pitagórico de Kepler de buscar armonías en el universo fue aplicado a otros problemas.

Ahora encontramos que los antiguos, entre otros Ptolomeo, ya usaban esta hipótesis de la trayectoria más corta de un rayo que incide sobre un plano para explicar la igualdad de los ángulos de incidencia y reflexión, el principio que es la base de la catóptrica. Mediante esta misma hipótesis fue que el Sr. Fermat proveyó una razón para la ley de refracción de acuerdo a los senos, o su formulación en otros términos como hizo Snell, de acuerdo a las secantes. Pero lo que es más, no dudo de que esta ley fue primero descubierta por este método. Es sabido que Willebrord Snell, uno de los más grandes geómetras de su tiempo y muy versado en los métodos de los antiguos, lo inventó, habiendo escrito un trabajo que no fue publicado debido a la muerte del autor.

- Leibniz, Tentamen Anagogicum.18
Estas aplicaciones, sin embargo, tuvieron sus impostores.
Dado que él [Snell] había enseñado esto a sus discípulos, todo apunta a la conclusión de que Descartes, quien había llegado a Holanda un poco después y quien estaba muy interesado en este problema, lo aprendió ahí. La manera en que Descartes trató de explicar la ley de la refracción, mediante causas eficientes o por la composición de dirección a imitación de la reflexión de proyectiles, es extremadamente forzada y no lo suficientemente inteligible. Para no decir más sobre esto aquí, esto muestra claramente que es una idea posterior ajustada de alguna manera a la conclusión y que no fue descubierta por el método que él da.

-Leibniz, Tentamen Anagogicum.

Ese fue un curso típico de los eventos en aquellas décadas posteriores a la muerte de Kepler.

Con respecto al trabajo directo de Kepler, algunos astrónomos argumentaron que la Nueva Astronomía de Kepler era ageométrica. Otros, reconociendo la superioridad de los resultados de Kepler, fueron tan lejos como proclamar haber resuelto el problema de Kepler usando las técnicas algebraicas que él había desechado explícitamente.19

Implícito en el trabajo de esta última facción hubo un intento deliberado de sustraer los resultados prácticos de los descubrimientos de Kepler del método que hizo posibles esos descubrimientos. Este último grupo sería conocido como la Escuela Empirista.

Leibniz

El oponente más feroz a la Escuela Empirista y, por lo tanto, el mayor defensor del método de Kepler en la segunda mitad del siglo 17, fue Gottfried Wilhelm Leibniz. Las batallas no podían haber sido más explícitas y Leibniz las condujo con ataques totalmente frontales. De los numerosos antagonistas que combatió, uno de los más importantes fue John Locke sobre el tema de la naturaleza del entendimiento humano. En su Tratado Sobre el Entendimiento Humano, John Locke intentó eliminar muchas de las ideas epistemológicas cruciales que habían sido establecidas a través del reavivamiento de los estudios Platónicos.

…y aunque es lo cierto que el autor del tratado produjo mucho bien, con lo cual estoy conforme, sin embargo nuestros dos sistemas, el suyo y el mío, discrepan en algunos puntos importantes. El suyo tiene más afinidad con el de Aristóteles, el mío con el de Platón... Nuestros dos sistemas, el suyo y el mío, discrepan en algunos puntos importantes..... El asunto es averiguar si, como piensan Aristóteles y el autor del tratado, el alma está en sí y por sí absolutamente vacía como un papel en el cual no se ha escrito nada (tabula rasa), y de si todo lo que en ella se graba procede de los sentidos y de la experiencia, o si, por el contrario, el alma contiene originalmente las razones iniciales de diferentes conceptos y doctrinas, que solo con ocasión de los objetos exteriores se despiertan en ella, como yo lo creo, con Platón y los escolásticos y con todos aquellos que interpretan el pasaje de San Pablo (Rom, 2:15) de que la ley de Dios esta escrita en los corazones.

-Leibniz, Nuevo Tratado Sobre



el Entendimiento Humano, Prefacio.
La concepción del Número promovida por la Escuela Empirista fue la de una mera cantidad linearizada (por ejemplo, el número 2, la línea duplicada, el cuadrado duplicado y el cubo duplicado se consideran como iguales), exactamente contraria a la aguda distinción de Kepler entre lo continuo y lo discreto.
Filaletes: [Locke] Los diferentes modos de los números no son capaces de ninguna otra diferencia que el más o el menos, por esto son modos simples como los de la extensión.

Teófilo: [Leibniz] Eso se puede decir del tiempo y de la línea recta, pero nunca de las figuras, y aun menos de los números, que son, no solamente diferentes en magnitud, sino también desemejantes. Un número par puede ser dividido en dos iguales pero un impar no. Tres y seis son números triangulares; cuatro y nueve son cuadrados; ocho es cubo, etc. y esto tiene lugar en los números aún más que en las figuras, pues dos figuras desiguales pueden ser perfectamente semejantes la una a la otra, pero dos números nunca. No me extraña, sin embargo, que la gente se equivoque en este punto, porque comúnmente no se tiene una idea precisa de lo semejante y lo desemejante. Ved pues, como vuestra idea o vuestra explicación de las modificaciones simples o mixtas necesita ser rectificada.

-Leibniz, Nuevo Tratado Sobre el Entendimiento Humano, Libro II, Capítulo XVI.

Muchas de las consideraciones de Leibniz fueron conformadas por su lucha al lidiar con el Problema de Kepler. El claramente entendió que las aproximaciones a las que llegaba la Escuela Empirista eran inútiles para hacer avanzar una ciencia enfocada en el descubrimiento de principios, opuesta a solo promover un modelo estadísticamente adecuado. En su lucha con la paradoja que Kepler desenterró, fue que Leibniz desarrollaría su cálculo infinitesimal.20 El método de Leibniz culminó con su descubrimiento del principio de la catenaria, que sería su puerta hacia el dominio complejo oculto detrás de la Fórmula de Cardan.21 Una nueva comprensión llevó a conclusiones que estaban más allá de la creencia de algunos.

…cuando le dije al finado Sr. Huyghens que le pareció tan extraordinario que respondió que en esto existe algo incomprensible para nosotros.

-Leibniz, Carta a Varignon, Feb. 2, 1702

¿Cómo podría ser que esta magnitud aparentemente imposible pudiera ser realmente cognoscible? ¿Cómo debía estar pensando Leibniz sobre esta magnitud para hacerla comprensible?

Entre sus cálculos en uno de sus manuscritos en el que describió la derivación que hizo de esta ecuación, puso por escrito un comentario muy contundente: “Dejemos a esta fórmula ser dividida en dos partes, el binomio… y la apotema …” ¡Desde luego! ¡Los grados de cognoscibilidad de Kepler! 22 (Ver recuadro III.)

Leibniz no se detuvo allí, sino que continuó sobre la Fórmula de Cardan.


¿Cómo puede ser que una cantidad real, una raíz de la ecuación propuesta, sea expresada por la intervención de una imaginaria? Porque esta es la cosa extraordinaria tal como lo muestran los cálculos, que una cantidad imaginaria solo se observa que entra en aquellas ecuaciones cúbicas que no tienen raíz imaginaria, en la que sus raíces son reales o posibles como había sido mostrado por la trisección de un ángulo por Albert Girard y otros… Esta dificultad ha sido demasiado para todos los escritores de álgebra hasta el presente y todos han dicho que en este caso las reglas de Cardan fallan… no recuerdo haber notado un hecho mas singular y paradójico en todo análisis, por lo que creo ser el primero en haber reducido raíces irracionales, imaginarias en forma, a valores reales sin extraerlas.
Aplicando su método del binomio y el apotema a la fórmula general de Cardan, Leibniz aborda el caso específico.

Toma la ecuación que también Albert Girard usó: x3 – 13x -12 = 0, cuya verdadera raíz es 4. De las fórmulas de Scipio Ferro o Cardan,




Probaré que esta expresión es correcta y real y debe ser admitida. Pon

y ciertamente x será igual a 4, como lo postula la ecuación. Ahora veamos si la fórmula de Cardan puede ser derivada de esto.23


Después de tomar en cuenta la solución de Leibniz a la fórmula de Cardan, uno aun debe preguntarse: ¿se ha resuelto el problema de los números imaginarios? Leibniz debe haber justificado la fórmula de Cardan como una herramienta para encontrar raíces reales de ecuaciones cúbicas pero ¿significaría esto que todas las raíces de la ecuación cúbica son ahora cognoscibles? ¿En qué grado de cognoscibilidad está un número imaginario? Pareciera que el resultado que el álgebra produce aun no tiene significado en sí mismo.
La multitud de consideraciones es también lo que hace que en la ciencia de los números mismos haya dificultades muy grandes, pues en ella se buscan procedimientos abreviados y a veces no se sabe si la naturaleza los tienen en sus arcanos para el caso de que se trata… Esto es lo que hace también que el álgebra sea aun tan imperfecta, aunque no haya nada más conocido que las ideas de que se sirve, puesto que no significan nada más que números en general, pues el público no tiene aun medios para sacar las raíces irracionales de ninguna ecuación más allá del cuarto grado (excepto en un caso muy limitado). Y los métodos de que se sirvieron Diofanto, Escipión du Fer y Luis de Ferrara para el segundo, tercero y cuarto grado respectivamente, a fin de reducirlos al primero, o para reducir una ecuación afectada a una pura, son completamente diferentes entre sí, es decir, el que sirve para un grado difiere un grado del que sirve para otro… Y esto hace también pensar que el álgebra dista mucho de ser el arte de inventar, porque necesita la ayuda de un arte más general… Descartes ha extendido la aplicación de este cálculo a la geometría, marcando las líneas por las ecuaciones. Sin embargo, aun después del






RECUADRO III

Leibniz comienza su remembranza de cómo encontró, escribiendo:

“Será útil mencionar como mi mente fue conducida a la solución de este problema. Una vez que llegué a dos ecuaciones de este tipo: x2 + y2 = b; xy = c”

Uno podría concluir, “entonces, ¿estaba examinando el círculo y la hipérbola?”… Quizá.

Si uno vuelve a reexaminar los Grados de cognoscibilidad de Kepler, las observaciones que pudieran hacerse son:
1) Obviamente hay varios grados de cognosibilidad, pero también,
2) entre los grados tratados por Kepler hay dos diferentes tipos de grados

a) el primer tipo es una forma de cognoscibilidad que resulta de la relación de una magnitud simple en relación comparativa a algo conocido.

b) el segundo tipo es una forma de cognoscibilidad que se origina en una relación entre dos magnitudes que cada una no tienen cognoscibilidad del primer tipo, pero que actuando una sobre otra generan una relación comparativa sintética a ser conocida.
Este segundo tipo de relación es lo que Kepler desarrolla para su 5to, 6to y 7to grados de cognoscibilidad. Él elabora esta característica del 5to grado así:

“Noten, por lo tanto que en este grado mediremos no las líneas mismas, ni sus cuadrados individuales, sino mas bien mediremos tanto el Rectángulo formado de ellos y la suma de sus cuadrados, así, lo que está faltando en un cuadrado, haciéndolo menos posible de expresar, es exactamente compensado por el otro cuadrado que esta asociado con él”.

Así, en el 5to grado, cada una de las magnitudes son inexpresables por si mismas pero lo que las hace a cada una inexpresables con respecto a lo conocido encuentra su origen en una relación común subyacente. ¿Qué es esta relación subyacente?

“…. Sea el quinto grado de conocimiento cuando tenemos dos líneas las cuales no son Expresables, ni Medias, y además son completamente inconmensurables una con otra, y ellas hacen tanto la suma de sus cuadrados y su rectángulo común a una cantidad expresable”.

¿Como uno expresaría algebraicamente esta relación? ¿Cómo es esto?

“…dos ecuaciones de este tipo: x2 + y2 = b; xy = c

Esto es, dadas dos líneas x y y, la suma de sus cuadrados es igual a b y su rectángulo común es igual a c, donde b y c serían ambos posibles de expresar. Si uno fuera a generalizar el dominio de todas las magnitudes de 5to grado, esta sería la forma de expresarlo, por así decirlo.

Kepler había estado examinando magnitudes que surgen en la construcción de polígonos para determinar sus grados de cognoscibilidad, Leibniz estaba comenzando con el dominio general de un grado específico de cognoscibilidad y llegando a las paradojas en el particular.

Aunque Leibniz detalla más sobre su descubrimiento, cualquiera que se tome el tiempo de tener un diálogo entre Kepler y Leibniz sobre este tema debería ser capaz de descubrir el resto por sí mismo, tal vez con una última pregunta.

Leibniz consideró que x y y eran un “binomio” y un “apotema”. En muchos casos, esta relación se comprende mejor como siendo generada a través de la división de una línea. ¿Produce esto las relaciones encontradas aquí? ¿Qué tal si en vez de esto se intenta la división de un área? ¿Cuáles, entonces, son las implicaciones de la naturaleza del dominio de investigación?




descubrimiento de nuestra álgebra moderna, Bouillaud… miraba con asombro las demostraciones de Arquímedes sobre la espiral y no podía comprender como a este gran hombre se le habían ocurrido… El nuevo cálculo de los infinitesimales, que procede por la vía de las diferencias, que a mí se me ha ocurrido y que he participado al público con éxito, proporciona una vía general en la que este descubrimiento en relación a la espiral no es más que un juego y un ensayo de los más fáciles… La razón de la ventaja de este nuevo cálculo es también que descarga la imaginación en los problemas que Descartes había excluido de su Geometría bajo pretexto de que conducían al mecanismo generalmente pero en el fondo porque no convenían a su cálculo.

-Leibniz, Nuevo Tratado Sobre el Entendimiento Humano, Libro IV, capítulo XVII.

Sin embargo, los frutos de su trabajo sobre el problema de Kepler --siendo uno de ellos el cálculo de Liebniz-- serían brutalmente atacados en sus últimos años, especialmente después de su muerte en 1716. Con Leibniz muerto, el empirismo podía avanzar por la Europa Continental –y lo hizo.



Historia Viva

Sobre Kepler

Ningún mortal ha llegado tan alto,

como Kepler escaló y murió hambriento:

Sólo sabía complacer a las Mentes

y los cuerpos lo dejaron sin pan.

A. G. Kästner24


¡Ay de Mi! Que debo nombrar el nombre de Kepler, para nuestra desgracia. Alemania, la fructífera pero negligente madre de grandes almas, dejó a Kepler luchar contra la pobreza y la miseria mientras se ocupaba de asignar leyes a los cuerpos celestes, y murió en un viaje que hizo para cobrar su prometida y postergada paga. ¡Ingrata patria! ¿Has sido digna de un Newton?... La pasión me lleva muy lejos. Si, Alemania, no has sido indigna de Newton, puesto que has producido a Leibniz.

- Kästner. Elogio de la Astronomía.

Apenas comenzaba la carrera de Abraham Gotthelf Kästner cuando se publicaron estas palabras en el primer ejemplar del Hamburgisches Magazin, y a pesar de su edad, los pensamientos de este apasionado joven no podían sino resonar a través de los círculos de Leipzig y más allá. Aquellos que prestarían atención a este llamado, emergerían después para convertirse en las figuras líderes de su generación en Alemania.

La tradición Leibniziana estaba bajo ataque – la Academia Real de Ciencias de Berlín estaba siendo tomada por una nueva facción de empiristas encabezados por Euler y Maupertuis, cuyo objetivo principal era limpiar cualquier memoria del papel de Leibniz (e implícitamente del de Kepler) en el desarrollo de la ciencia continental.25 Kästner, nacido y crecido en Leipzig, llegó a la madurez en una región rodeada con una cultura inmersa en Leibniz y Bach. Sería entonces natural que la pelea que Kästner libró fuera una expresión de esa tradición profundamente inculcada.

En la Universidad de Leipzig, Kästner reclutó a dos de sus principales estudiantes, Gotthold Lessing y Christlob Mylius. Fue bajo la tutela de Kästner que Lessing, quien más tarde sería reconocido como el fundador de la tradición literaria clásica alemana, escribió su primera obra: una sátira sobre un infame ensayo premiado en el certamen patrocinado por la Academia de Berlín. Al mismo tiempo, Mylius y Kästner usaban el Hamburgisches Magazin como una poderosa herramienta para desarrollar el alemán como un idioma científico, traduciendo tratados de todo el mundo y escribiendo críticas de las operaciones en marcha en la Academia de Berlín.

Después de que Lessing y Mylius dejaron Leipzig para ir a Berlín, más cerca del territorio enemigo, el otro miembro de toda la vida de este unido grupo, Moisés Mendelssohn, se uniría a la batalla. La primera colaboración importante entre Lessing y Mendelssohn fue una defensa de Leibniz lanzada contra la Academia de Berlín titulada ¡Pope Un Metafísico!

Aunque otros entrarían y saldrían en sus órbitas, estos pocos serían los principales personajes en Europa que desatarían un renacimiento cultural en la Europa del siglo 18 y en América.

Al mismo tiempo, D’Alambert en 1746 y Euler en 1749, ambos en la Academia de Berlín, realizaron sus supuestas pruebas del teorema fundamental del algebra. Los enfoques de ambos intentaron la misma táctica: limitar el concepto de número al de extensión simple. Al hacer eso, podían eludir el problema de las llamadas soluciones imposibles, tratándolas como meros símbolos, sin poseer ninguna diferencia topológicamente significativa. En esencia, su táctica fue negarle al dominio complejo cualquier cosa mas allá de una mera existencia simbólica.


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