Xvi poligonos: ∗ Figura plana limitada por lados rectos. ∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en



Descargar 178.46 Kb.
Fecha de conversión18.01.2017
Tamaño178.46 Kb.
XVI. POLIGONOS:
∗ Figura plana limitada por lados rectos.
∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en:
> 3 lados: Triángulo > 9 lados: Nonágono o Eneágono

> 4 lados: Cuadrilátero > 10 lados: Decágono

> 5 lados: Pentágono > 11 lados: Undecágono o Endecágono

> 6 lados: Hexágono > 12 lados: Dodecágono

> 7 lados: Heptágono > 15 lados: Pentadecágono

> 8 lados: Octágono u Octógono > 20 lados: Icoságono

∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es:

(n = número de lados del polígono)

∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º.

∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n-3

∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados:


A. POLIGONOS REGULARES:


∗ Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.
∗ Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide:

∗ Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide:

∗ Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.

EJEMPLO PSU-1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.

II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del

hexágono.

III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del

hexágono.
A) Sólo III

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III
EJEMPLO PSU-2. La siguiente figura corresponde a un hexágono regular de perímetro 36 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El área del hexágono es igual a

II)

III) El complemento de es 30º


A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) I, II y III




XVII. CIRCUNFERENCIA:
DEFINICION:
Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos veces el radio.
NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.





ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA


ANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios

El ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa.



Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario

ANGULO INSCRITO: Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son cuerdas.

tex: \noindent $\displaystyle
<br />\alpha=\frac{\stackrel{\displaystyle \frown}{BA}}{2} $
<br />

El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.



ANGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdas cualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia.

tex: \noindent $\displaystyle
<br />\alpha=\frac{\stackrel{\displaystyle \frown}{BA}+\stackrel{\displaystyle \frown}{DC}}{2}$

La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia



ANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vértice se ubica fuera de la circunferencia.tex: \noindent $\displaystyle
<br />\alpha=\frac{\stackrel{\displaystyle \frown}{BA}-\stackrel{\displaystyle \frown}{DC}}{2} $



La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en la circunferencia



ANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una tangente y una cuerdatex: \noindent $\displaystyle
<br />\alpha=\frac{\stackrel{\displaystyle \frown}{BA}}{2} $ \\
<br />\\
<br />$ \displaystyle \alpha=\beta $
<br />


La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende



Corolarios

1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.

tex: \noindent $\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=\stackrel{\displaystyle \frown}{ed}$

2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.tex: \noindent $\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=90°$





3. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero cualquiera, inscrito en la circunferencia, son suplementarios (suman 180°)

tex: \noindent $\displaystyle \alpha+\beta=\gamma+\delta=180°$
4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia


5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia

x +  = 180º


6. Dos líneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes


EJEMPLO PSU-1: En la figura y O es centro de la circunferencia. Si , entonces el ángulo  mide:


A) 10º


B) 40º

C) 20º


D) 70º

E) 80º



EJEMPLO PSU-2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y ∡ BAC = 20°. El valor del ∡ x es
A) 20°

B) 35°


C) 40°

D) 55°


E) 70°

EJEMPLO PSU-3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces el valor del ángulo α es


A) 68°


B) 66°

C) 57°


D) 44°

E) ninguno de los valores anteriores




EJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida del ángulo x es
A) 32º

B) 26º


C) 38º

D) 52º


E) 64º


EJEMPLO PSU-5: En la figura, es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el ∡ BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I) ∡ CBO = 20°

II) ∡ CAO = ∡ AOD

III) ∡ AOD =∡ BOD

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III



EJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la figura, el ∡ BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ∡ AED en el triángulo isósceles AED?


A) 70º


B) 50º

C) 40º


D) 20º

E) Ninguno de los valores anteriores.




EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110°. Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el ∡ x mide
A 55°

B 70°


C 110°

D 125°


E 220°

EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, es diámetro, ∡ DOC = 60º y es bisectriz del ∡OBC. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?




A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III


EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, ¿cuál es la medida del ángulo x?


A) 20º


B) 40º

C) 70º


D) 110º

E) 160º


EJEMPLO PSU-10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda y el ángulo ABC es inscrito de 45º?



EJEMPLO PSU-11: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Sus perímetros son iguales

II) Sus radios son de igual longitud

III) Sus centros son coincidentes


A) Solo III

B) Solo I y II


C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III
EJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden 1. son radios de la semicircunferencia y es perpendicular a . ¿Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita?




EJEMPLO PSU-13: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC?
A) 12°

B) 24°


C) 48°

D) 132°


E) 156°

EJEMPLO PSU-14: En la figura, es tangente en P a la circunferencia circunscrita al triángulo PQR. La medida del ángulo  es


A) 80º


B) 100º

C) 120º


D) 125º

E) 130º
EJEMPLO PSU-15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de radio r y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es:


E) Ninguna de las anteriores


EJEMPLO PSU-16: En la circunferencia de centro O de la figura, si , entonces el valor del ángulo es:


A) 16º


B) 32º

C) 48º


D) 64º

E) Indeterminable




EJEMPLO PSU-17: En la figura, la medida del ángulo inscrito en la circunferencia de centro O es:


A) 60º


B) 70º

C) 80º


D) 110º

E) 120º


EJEMPLO PSU 18: En la circunferencia de la figura. , ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?

A) Solo III

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III



EJEMPLO PSU-19: En la circunferencia de centro O, es diámetro y ∡ ABC =2∡DAB. La medida del ∡ ABC es:


A) 100º


B) 30º

C) 35º


D) 60º

E) 70º


EJEMPLO PSU-20. Según la siguiente figura, en el triángulo ABC se traza una semicircunferencia con diámetro . Entonces es verdadero que:
A) es perpendicular a

B) ABC es isósceles

C) ARC es isósceles

D) es simetral de

E) ABR es equilátero

EJEMPLO PSU-21. ABC es un triángulo isósceles de base , si el ángulo ACB = 52º entonces el ángulo x mide:


A) 64º


B) 104º

C) 128º


D) 138º

E) Ninguna de las anteriores




EJEMPLO PSU-22. En la figura, BC y CA son rectas secantes a la circunferencia C, pertenece a ella y L es una recta que contiene al diámetro, ¿cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?







EJEMPLO PSU-23. En la figura son diámetros de la circunferencia de centro O y es bisectriz del ángulo ECA. La medida del ∡ x es

A) 60º


B) 40º

C) 80º


D) 90º

E) 120º


XVIII. CIRCULO:


A. SECTOR CIRCULAR:


Área del sector =

B. SEGMENTO CIRCULAR:


Área segmento circular = Área sector circular AOB – Área triángulo AOB






C. CORONA O ANILLO CIRCULAR:


Área del anillo = π · (R2 – r2)
R = radio círculo mayor / r = radio círculo menor


PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las cuerdas


Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra








Teorema de las secantes


Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior








Teorema de la tangente y la secante


Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la secante y su segmento exterior








EJEMPLO PSU-1: Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda es de 9 cm, entonces la cuerda mide


A) 6 cm


B) 12 cm

C) 18 cm


D) 20 cm

E) 24 cm



EJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r. es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de , entonces la longitud de , en términos de r, es


EJEMPLO PSU-3: En la figura, los puntos P, Q, R y S están sobre la circunferencia de centro O. Si , = 6 y = 12, entonces mide
A) 4

B) 6


C) 8

D) 9


E) 10
EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O, radio r y diámetro . Si por el punto medio M de , se traza la cuerda perpendicular al diámetro, entonces la longitud de la cuerda es

EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 20 cm la distancia desde el centro hasta una cuerda es 6 cm. Entonces la cuerda mide:
A) 8 cm

B) 10 cm


C) 12 cm

D) 16 cm


E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, es diámetro, ; = 4; = 3. El radio es:






EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) = 6

II) = 3

III)= 6

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III



EJEMPLO PSU-8. En la figura, el segmento mide 15 cm y es tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro?






XIX. CUERPOS POLIEDROS:
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.



PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto.

A. POLIEDROS REGULARES:
 Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí.


b. Octaedro:

Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12 aristas. Son dos pirámides unidas por su base común.


 Son cinco:



a. Tetraedro:

Tiene 4 caras (triángulos equiláteros), 4 vértices, 6 aristas.






c. Icosaedro:

Tiene 20 caras (triángulos equiláteros), 12 vértices, 30 aristas.


http://www.donbosco.e12.ve/small/5solidos.gif



d. Hexaedro o cubo:

Tiene 6 caras (cuadrados), 8 vértices, 12 aristas, 4 diagonales congruentes.



e. Dodecaedro: tiene 12 caras (pentágonos regulares), 20 vértices, 30 aristas.

 Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número total de caras del poliedro.


B. POLIEDROS IRREGULARES:
 No tienen todas sus caras congruentes.

Se clasifican en: > Prismas

> Pirámides
1. PRISMA:

Tiene dos polígonos iguales de base y varios paralelogramos como caras laterales.

A = Área lateral · 2 Área basal

 V = Área basal · h



a

h

p

2. PIRAMIDE:

 Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común también llamado cúspide.

 A = Área basal (nº de caras) Área lateral

 V = Área basal · h

3
XX. CUERPOS REDONDOS:

 Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas.

 Los principales son: > Cilindro

> Cono


> Esfera

h
r


A. CILINDRO:
Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser cualquiera de sus lados.

A = 2 r (h + r)

 V = r2 · h

h
r


g
B. CONO:
 Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje situado sobre uno de sus catetos.

 A = r (g + r)

 V =
C. ESFERA:
 Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su diámetro.

A = 4 r2

V = r3
CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje




TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:



EJEMPLO PSU-1: En un motor la relación entre el volumen V del cilindro, el diámetro D del pistón y la longitud L del desplazamiento de ese pistón es: Si el diámetro es 10 cm y la longitud del desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumen del cilindro?
A) 7.900 cm3

B) 790 cm3

C) 79 cm3

D) 7,9 cm3

E) 0,79 cm3
EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?
A) 4 m3

B) 6 m3

C) 8 m3

D) 16 m3

E) 24 m3

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado ?
A) 30 cm3

B) 45 cm3

C) 75 cm3

D) 180 cm3

E) 300 cm3

EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las rectas AD' y BC' son paralelas.

II) Las rectas A'B y DC' son paralelas.

III) Las rectas A'D y BC' no se intersectan.


A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es


A) 9  cm3

B) cm3

C) 36  cm3

D) 27 cm3

E) 18 cm3



EJEMPLO PSU-6: Se tiene un prisma cuya base es un hexágono regular de lado . La altura del prisma es . ¿Cuál es el volumen del prisma?
A) 9

B) 18


EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de radio r, una encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:




EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden, respectivamente,

EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la superficie a cubrir?
A) 12a2

B) 6a2

C) a2

D) 4a2

E) 8a2

EJEMPLO PSU-10: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al eje x se giran en forma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las siguientes opciones representa mejor el cuerpo generado?






EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una perforación cilíndrica en el centro, como se muestra en la figura. Si la arista del cubo mide 8 cm y el radio del cilindro mide 2 cm, el volumen del cubo perforado, en cm3, es
A) 512 - 32

B) 512 - 16

C) 512 - 128

D) 256 - 32

E) 480

EJEMPLO PSU-12: En la figura se muestra el cubo de arista a. El triángulo EBD es:
A) equilátero

B) isósceles no equilátero

C) isósceles rectángulo

D) rectángulo en D

E) rectángulo en B
EJEMPLO PSU-13: La pirámide de la figura, está compuesta de:

A) 7 caras, 12 aristas y 6 vértices

B) 6 caras, 12 aristas y 6 vértices

C) 7 caras, 7 aristas y 7 vértices

D) 6 caras, 7 aristas y 6 vértices

E) 7 caras, 12 aristas y 7 vértices



EJEMPLO PSU-14: En la figura, el prisma recto tiene una altura de m y la base es un hexágono regular de lado m. Su volumen es:






EJEMPLO PSU-15. La cara lateral de un paralelepípedo de base cuadrada coincide completamente con la cara lateral de un prisma regular de base pentagonal, como muestra la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas.

I) Las caras laterales de los prismas son paralelas

II) El área de cada cara lateral es igual en ambos prismas

III) a = 18º


A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) II y III

E) I, II y III




EJEMPLO PSU-16. La diagonal mayor de un rombo mide 2x y la menor mide 2y. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al rotar el rombo sobre la diagonal mayor?

EJEMPLO PSU-17. Un cuadrado de lado “a” se hace girar, indefinidamente, en torno de uno de sus lados. El área de la superficie lateral del cuerpo generado es



XXI. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:
A. DIVISION INTERIOR:
DIVISIÓN INTERNA

Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m: n, si AP: PB = m: n






B. DIVISION EXTERIOR:


· Dividir exteriormente el segmento en la razón m: n, significa encontrar en el exterior del trazo AB (en su prolongación), un punto Q

Q

B

A

m

A

Q

B

m

n


n

tal que:


C. DIVISION ARMONICA:


Dividir armónicamente el trazo AB en la razón m: n, significa dividirlo interiormente (punto P) y exteriormente (punto Q) en una misma razón dada, A

B

P

Q

m

n

tal que:


D. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA

Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor.





OBSERVACIÓN: La razón se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO


EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón 1: 3: 5 y la medida del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento del medio?
A) 45 cm

B) 15 cm

C) 60 cm

D) 25 cm

E) No se puede determinar.

EJEMPLO PSU-2: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la razón 2: 5. Si mide 20, entonces ¿cuánto mide ?
A) 28

B) 28


C) 50

D) 70


E) Ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el punto P en la razón 2:3?


A) Sólo III

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III


EJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD como
A) 1: 2

B) 1: 3

C) 1: 4

D) 1: 5


E) 1: 6
EJEMPLO PSU-5. En la figura, . ¿Cuánto mide el segmento
A) 3

B) 6


C) 8

D) 9


E) 10
EJEMPLO PSU-6. Se ubicará una estación de gasolina P entre las ciudades M y N, que distan 60 km entre ellas, de modo que las distancias de las ciudades a la gasolinera estén en la proporción = 2: 3. Si la estación de gasolina estará en línea recta con las ciudades M y N, ¿a qué distancia de la ciudad M quedará ubicada la estación de gasolina?
A) A 12 Km

B) A 24 Km

C) A 30 Km

D) A 36 Km

E) A 48 Km


Álvaro M. Sánchez Vásquez



Prof. Matemática y Física


La base de datos está protegida por derechos de autor ©bazica.org 2016
enviar mensaje

    Página principal